a) A(4,0,3), B(-8,4,1), D(3,-1,0) e |A C|=2 raiz2.
b) Os ângulos diretores de A C são alpha=gamma=45^circ. Determine o volume deste tetraedro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá quatro pontos no espaço: , , e uma condição sobre o vetor , que tem magnitude e ângulos diretores . O que a gente precisa fazer aqui é determinar o volume desse tetraedro formado pelos pontos , , e .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores no espaço tridimensional, especialmente o cálculo do volume de um tetraedro usando produto vetorial e produto misto. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as coordenadas do ponto AC = |AC| cdot (cos alpha, cos beta, cos gamma) . Sabemos que cos 45^circ = raiz22 e que os ângulos diretores AC = 2raiz2 cdot ( raiz22, cos beta, raiz22 ) = (2, 2raiz2 cos beta, 2) e |AC|^2 = 2^2 + (2raiz2 cos beta)^2 + 2^2 = 8 são 4 + 8 cos^2 beta + 4 = 8 implies 8 cos^2 beta = 0 implies cos beta = 0 . Os ângulos diretores nos dizem a direção do vetor AC = (2, 0, 2) em relação aos eixos C = A + AC = (4+2, 0+0, 3+2) = (6, 0, 5) , e .
As componentes do vetor podem ser encontradas usando as seguintes fórmulas:
Sabendo que , temos:
Então,
Agora, usamos a condição da magnitude do vetor para encontrar :
Isso significa que , então:
Agora, encontramos as coordenadas de adicionando a :

Passo 3

Agora que temos as coordenadas de todos os pontos ( AB = B - A = (-8-4, 4-0, 1-3) = (-12, 4, -2) , AD = D - A = (3-4, -1-0, 0-3) = (-1, -1, -3) , AC = (2, 0, 2) e ), podemos calcular os vetores que partem de :

Passo 4

Para encontrar o volume do tetraedro, usamos a fórmula do produto misto:
V = |AB cdot (AD times AC)|6
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial AB times AD = i & j & k -12 & 4 & -2 -1 & -1 & -3 :
AB times AD = i(4 cdot (-3) - (-2) cdot (-1)) - j((-12) cdot (-3) - (-2) cdot (-1)) + k((-12) cdot (-1) - 4 cdot (-1))
Calculando o determinante:
= i(-12 - 2) - j(36 - 2) + k(12 + 4)
= -14i -34j +16k = (-14, -34, 16)
AB times AD cdot AC = (-14) cdot 2 + (-34) cdot 0 + 16 cdot 2 = -28 + 0 + 32 = 4
Agora, fazemos o produto escalar com :

Passo 5

Finalmente, aplicamos a fórmula do volume:
V = |4|6 = 46 = 23

Resposta

O volume do tetraedro é unidades cúbicas.

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