a) e .
b) Os ângulos diretores de são . Determine o volume deste tetraedro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá quatro pontos no espaço: , , e uma condição sobre o vetor , que tem magnitude e ângulos diretores . O que a gente precisa fazer aqui é determinar o volume desse tetraedro formado pelos pontos , , e .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores no espaço tridimensional, especialmente o cálculo do volume de um tetraedro usando produto vetorial e produto misto. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as coordenadas do ponto . Sabemos que e que os ângulos diretores e são . Os ângulos diretores nos dizem a direção do vetor em relação aos eixos , e .
As componentes do vetor podem ser encontradas usando as seguintes fórmulas:
Sabendo que , temos:
Então,
Agora, usamos a condição da magnitude do vetor para encontrar :
Isso significa que , então:
Agora, encontramos as coordenadas de adicionando a :

Passo 3

Agora que temos as coordenadas de todos os pontos ( , , e ), podemos calcular os vetores que partem de :

Passo 4

Para encontrar o volume do tetraedro, usamos a fórmula do produto misto:
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial :
Calculando o determinante:
Agora, fazemos o produto escalar com :

Passo 5

Finalmente, aplicamos a fórmula do volume:

Resposta

O volume do tetraedro é unidades cúbicas.

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  1. Sabendo que e são vértices de um triângulo, determine um vetor que tem a direção da bissetriz do ângulo interno BAC.
Seja e . Determine o vetor unitário , tal que u seja ortogonal a v e u seja ortogonal também a w.
a) e ;
b) Os ângulos diretores de AE são agudos e e . Determine as coordenadas de vértice E, para que o volume deste paralelepípedo seja igual a u.v.
A matriz de mudança da base para uma base C ambas do mesmo subespaço de é
Determinar a base C.