a) e .
b) Os ângulos diretores de são . Determine o volume deste tetraedro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá quatro pontos no espaço: , , e uma condição sobre o vetor , que tem magnitude e ângulos diretores . O que a gente precisa fazer aqui é determinar o volume desse tetraedro formado pelos pontos , , e .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores no espaço tridimensional, especialmente o cálculo do volume de um tetraedro usando produto vetorial e produto misto. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as coordenadas do ponto . Sabemos que e que os ângulos diretores e são . Os ângulos diretores nos dizem a direção do vetor em relação aos eixos , e .
As componentes do vetor podem ser encontradas usando as seguintes fórmulas:
Sabendo que , temos:
Então,
Agora, usamos a condição da magnitude do vetor para encontrar :
Isso significa que , então:
Agora, encontramos as coordenadas de adicionando a :
Passo 3
Agora que temos as coordenadas de todos os pontos (, , e ), podemos calcular os vetores que partem de :
Passo 4
Para encontrar o volume do tetraedro, usamos a fórmula do produto misto: