A matriz de mudança da base 1+t, 1-t^2 para uma base C ambas do mesmo subespaço de P2(R) é
(rr 1 & 2 1 & -1 )
Determinar a base C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre mudança de base no espaço dos polinômios de grau no máximo 2, que é denotado por 1 & 2 1 & -1 . A base inicial é e a matriz de mudança de base para uma nova base é dada por:
Nosso objetivo é encontrar qual é essa nova base .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma matriz de mudança de base. Essa matriz serve para converter coordenadas de uma base para outra. No nosso caso, a matriz nos mostra como expressar os vetores da base inicial M = 1 & 2 1 & -1 em termos da nova base 1 + t = 1 cdot c1 + 2 cdot c2 .
A matriz dada é:
1 - t^2 = 1 cdot c1 - 1 cdot c2
Isso significa que:
Onde e são os vetores da base que queremos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar c1 = 1 - t^2 + c2 e 1 + t = (1 - t^2 + c2) + 2c2 1 + t = 1 - t^2 + 3c2 . Podemos reescrever as equações assim:
  1. t = -t^2 + 3c2
  2. 3c2 = t + t^2 c2 = t + t^23
Vamos isolar uma das variáveis. Da segunda equação:
c1 = 1 - t^2 + t + t^23 c1 = 3(1 - t^2) + t + t^23 c1 = 3 - 3t^2 + t + t^23 c1 = 3 + t - 2t^23 c1 = 1 + t3 - 2t^23
Agora, substituímos na primeira equação:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Resolvendo para :
Agora, voltamos para a expressão de :

Resposta

A base C = 1 + t3 - 2t^23, t + t^23 é dada por:

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