A matriz de mudança da base
para uma base C ambas do mesmo subespaço de
é
Determinar a base C.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre mudança de base no espaço dos polinômios de grau no máximo 2, que é denotado por
. A base inicial é
e a matriz de mudança de base para uma nova base
é dada por:
Nosso objetivo é encontrar qual é essa nova base
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma matriz de mudança de base. Essa matriz serve para converter coordenadas de uma base para outra. No nosso caso, a matriz nos mostra como expressar os vetores da base inicial
em termos da nova base
.
A matriz dada é:
Isso significa que:
Onde
e
são os vetores da base
que queremos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar
e
. Podemos reescrever as equações assim:
Vamos isolar uma das variáveis. Da segunda equação:
Agora, substituímos
na primeira equação:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Resolvendo para
:
Agora, voltamos para a expressão de
:
Resposta
A base
é dada por: