Os ângulos diretores de um vetor são alpha, 45^circ e 60^circ. Determinar alpha.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre os ângulos diretores de um vetor, que são os ângulos que esse vetor forma com os eixos coordenados no espaço. Aqui, temos dois desses ângulos já conhecidos: 45^circ e 60^circ. Nosso objetivo é descobrir qual é o valor de alpha, o terceiro ângulo diretor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são ângulos diretores. Em um espaço tridimensional, qualquer vetor forma três ângulos com os eixos x, y e z. Esses ângulos são chamados de ângulos diretores, denotados por alpha, beta e gamma, respectivamente.

Passo 3

Existe uma relação importante entre esses ângulos diretores que precisamos usar. A soma dos quadrados dos cossenos desses ângulos sempre é igual a 1. Isso é representado pela fórmula:
cos^2alpha + cos^2beta + cos^2gamma = 1

Passo 4

No nosso caso, sabemos que dois desses ângulos são 45^circ e 60^circ. Vamos chamar beta = 45^circ e gamma = 60^circ. Substituindo esses valores na fórmula, temos:
cos^2alpha + cos^245^circ + cos^260^circ = 1

Passo 5

Agora, vamos calcular os cossenos desses ângulos:
  • cos45^circ = raiz22 approx 0,7071
  • cos60^circ = 12 = 0,5
Elevando ao quadrado:
  • cos^245^circ = (raiz22)^2 = 24 = 0,5
  • cos^260^circ = (12)^2 = 14 = 0,25

Passo 6

Substituindo esses valores de volta na equação:
cos^2alpha + 0,5 + 0,25 = 1
Somando os valores conhecidos:
cos^2alpha + 0,75 = 1

Passo 7

Agora, isolamos cos^2alpha:
cos^2alpha = 1 - 0,75
cos^2alpha = 0,25

Passo 8

Para encontrar cosalpha, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
cosalpha = raiz0,25
cosalpha = 0,5

Passo 9

Agora, precisamos encontrar o ângulo cujo cosseno é 0,5. Conhecendo nossos ângulos especiais:
cos60^circ = 0,5
Então,
alpha = 60^circ

Resposta

O valor de alpha é 60^circ.

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