Os ângulos diretores de um vetor são e . Determinar .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre os ângulos diretores de um vetor, que são os ângulos que esse vetor forma com os eixos coordenados no espaço. Aqui, temos dois desses ângulos já conhecidos: e . Nosso objetivo é descobrir qual é o valor de , o terceiro ângulo diretor.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são ângulos diretores. Em um espaço tridimensional, qualquer vetor forma três ângulos com os eixos , e . Esses ângulos são chamados de ângulos diretores, denotados por , e , respectivamente.
Passo 3
Existe uma relação importante entre esses ângulos diretores que precisamos usar. A soma dos quadrados dos cossenos desses ângulos sempre é igual a 1. Isso é representado pela fórmula:
Passo 4
No nosso caso, sabemos que dois desses ângulos são e . Vamos chamar e . Substituindo esses valores na fórmula, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular os cossenos desses ângulos:
Elevando ao quadrado:
Passo 6
Substituindo esses valores de volta na equação:
Somando os valores conhecidos:
Passo 7
Agora, isolamos :
Passo 8
Para encontrar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Passo 9
Agora, precisamos encontrar o ângulo cujo cosseno é . Conhecendo nossos ângulos especiais: