Considere o sistema lx-2 y+z=a 2 x+y+z=b 5 y-z=c
Ache todas as soluções do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações que tem três equações com três incógnitas: , e . O conteúdo que vamos usar aqui é de sistemas lineares, mais especificamente o método de eliminação para encontrar as soluções. Para isso, vamos precisar manipular as equações de forma a eliminar uma variável de cada vez até conseguirmos encontrar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para as três equações:
x - 2y + z = a & (1) 2x + y + z = b & (2) 5y - z = c & (3)
Vamos começar eliminando uma das variáveis. Vamos tentar eliminar (2x + y + z) - (x - 2y + z) = b - a das equações (1) e (2). Para isso, vamos subtrair a equação (1) da equação (2):
2x - x + y + 2y + z - z = b - a x + 3y = b - a (4)
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos usar a equação (3), que já está em termos de 5y - z = c Rightarrow z = 5y - c (5) e . Podemos resolver a equação (3) para :

Passo 4

Vamos substituir a expressão de x - 2y + (5y - c) = a x - 2y + 5y - c = a x + 3y = a + c (6) da equação (5) na equação (1):

Passo 5

Agora temos duas equações com x + 3y = b - a & (4) x + 3y = a + c & (6) e b - a = a + c :
b - a - a = c c = b - 2a
Observamos que ambas as equações têm do lado esquerdo. Então, podemos igualar os lados direitos:
Resolvendo para :

Passo 6

Agora que encontramos uma relação entre x + 3y = b - a , x = b - a - 3y e , podemos voltar para a equação (4):
Podemos resolver para :

Passo 7

Vamos agora usar a equação (5) para encontrar z = 5y - c em termos de z = 5y - (b - 2a) z = 5y - b + 2a :
Sabemos que , então substituindo:

Passo 8

Até agora, temos x = b - a - 3y y = y z = 5y - b + 2a e em termos de . Vamos escolher um valor para ou expressar a solução em termos de . Vamos expressar todas as variáveis em função de :
Isso significa que existe uma infinidade de soluções dependendo do valor de . Então, a solução geral do sistema é:

Resposta

As soluções do sistema são todas as triplas x = b - a - 3y y = y z = 5y - b + 2a que satisfazem
onde pode ser qualquer número real.

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