Encontrar os números a1 e a2 tais que w=a1 v1+a2 v2, sendo v1=(1,-2,1), v2=(2,0,-4) e w=(-4,-4,14).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os números e tais que o vetor seja uma combinação linear dos vetores e . Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente trabalhando com combinações lineares e sistemas de equações. Para resolver, vamos precisar montar um sistema de equações baseado nos componentes dos vetores e resolver esse sistema para encontrar os valores de e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação dada:
w = a1 v1 + a2 v2
Substituindo os vetores pelos seus componentes, temos:
(-4, -4, 14) = a1 (1, -2, 1) + a2 (2, 0, -4)

Passo 3

Agora, vamos distribuir (-4, -4, 14) = (a1 cdot 1 + a2 cdot 2, a1 cdot (-2) + a2 cdot 0, a1 cdot 1 + a2 cdot (-4)) e a1 + 2a2 = -4 -2a1 = -4 a1 - 4a2 = 14 nos vetores:
Isso resulta em três equações, uma para cada componente:

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações passo a passo. Começamos com a segunda equação, que é mais simples:
-2a1 = -4
Dividindo ambos os lados por a1 = -4-2 = 2 :

Passo 5

Agora que temos o valor de 2 + 2a2 = -4 , vamos substituir esse valor na primeira equação para encontrar 2a2 = -4 - 2 2a2 = -6 :
a2 = -62 = -3
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Dividindo por 2:

Passo 6

Para garantir que os valores encontrados estejam corretos, vamos verificar na terceira equação:
a1 - 4a2 = 14
Substituindo 2 - 4(-3) = 2 + 12 = 14 e :
A igualdade confirma que nossos valores estão corretos.

Resposta

Os números são e .

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