Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto é um subespaço do espaço vetorial .
(f) e
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos o espaço vetorial e um subconjunto definido por uma condição envolvendo o determinante de uma matriz 3x3. Nossa missão é verificar se é um subespaço de .
Para isso, vamos precisar lembrar o que é um subespaço. Basicamente, para ser um subespaço de , ele precisa satisfazer três propriedades:
Contém o vetor zero: O vetor deve estar em .
Fechado sob adição: Se e estão em , então também deve estar em .
Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um número real, então também deve estar em .
Vamos resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o conjunto S = (x, y, z) in R^3 ,:, |ccc x & y & z 1 & 2 & 1 0 & 1 & 1 | = 0 . Ele é definido por:
det = x cdot (2 cdot 1 - 1 cdot 1) - y cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 1) + z cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 2)
Esse determinante pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos calcular:
det = x cdot (2 - 1) - y cdot (1 - 0) + z cdot (1 - 0) det = x - y + z
Simplificando:
S = (x, y, z) in R^3 ,:, x - y + z = 0
Então, o conjunto é na verdade:
Passo 3
Agora que simplificamos, vamos verificar as três propriedades para 0 - 0 + 0 = 0 Rightarrow 0 = 0 ser um subespaço.