Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto S é um subespaço do espaço vetorial V.
(f) V=R^3 e S=(x, y, z) in R^3:|lllx & y & z 1 & 2 & 1 0 & 1 & 1|=0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos o espaço vetorial e um subconjunto definido por uma condição envolvendo o determinante de uma matriz 3x3. Nossa missão é verificar se é um subespaço de .
Para isso, vamos precisar lembrar o que é um subespaço. Basicamente, para ser um subespaço de , ele precisa satisfazer três propriedades:
  1. Contém o vetor zero: O vetor deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se e estão em , então também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um número real, então também deve estar em .
Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o conjunto S = (x, y, z) in R^3 ,:, |ccc x & y & z 1 & 2 & 1 0 & 1 & 1 | = 0 . Ele é definido por:
det = x cdot (2 cdot 1 - 1 cdot 1) - y cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 1) + z cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 2)
Esse determinante pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos calcular:
det = x cdot (2 - 1) - y cdot (1 - 0) + z cdot (1 - 0) det = x - y + z
Simplificando:
S = (x, y, z) in R^3 ,:, x - y + z = 0
Então, o conjunto é na verdade:

Passo 3

Agora que simplificamos, vamos verificar as três propriedades para 0 - 0 + 0 = 0 Rightarrow 0 = 0 ser um subespaço.
1. Contém o vetor zero
Vamos verificar se x1 - y1 + z1 = 0 x2 - y2 + z2 = 0 está em (x1 + x2) - (y1 + y2) + (z1 + z2) = (x1 - y1 + z1) + (x2 - y2 + z2) = 0 + 0 = 0 :
(c x) - (c y) + (c z) = c(x - y + z) = c cdot 0 = 0
Sim, o vetor zero está em .
2. Fechado sob adição
Suponha que temos dois vetores e em . Isso significa que:
Vamos somar esses vetores: .
Vamos verificar se está em :
Então, também está em .
3. Fechado sob multiplicação por escalar
Agora, vamos pegar um vetor em e multiplicá-lo por um escalar . O vetor resultante é .
Vamos verificar se está em :
Então, também está em .

Resposta

Sim, o subconjunto é um subespaço do espaço vetorial .

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