Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um animal de laboratório que escolhe entre 3 tipos de alimentos todo dia. Se ele escolhe um alimento hoje, há 50% de chance de ele escolher o mesmo amanhã, e 25% de chance de escolher cada um dos outros dois alimentos. Vamos usar Cadeias de Markov para encontrar o vetor estacionário dessa cadeia, que basicamente nos diz qual a probabilidade de o animal estar com cada tipo de alimento no longo prazo.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz de transição. Essa matriz representa as probabilidades de passar de um estado (tipo de alimento) para outro. Como temos 3 alimentos, nossa matriz será 3x3.
Aqui, cada linha representa o alimento atual e cada coluna representa o próximo alimento escolhido. Por exemplo, da primeira linha, se o animal está no Alimento 1, há 50% de chance de ficar no Alimento 1, 25% de ir para o Alimento 2 e 25% para o Alimento 3.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o vetor estacionário. Esse vetor satisfaz a equação:
E, claro, a soma das componentes de deve ser 1, já que representam probabilidades.
Passo 4
Observando a simetria da matriz de transição , percebemos que todas as linhas são iguais, o que indica que todas as componentes do vetor estacionário serão iguais. Vamos chamar cada componente de .
Então:
Portanto, o vetor estacionário é:
Resposta
O vetor estacionário para esta Cadeia de Markov é: