Um animal de laboratório pode comer qualquer um de 3 tipos de alimentos a cada dia. As anotações do laboratório indicam que, se o animal escolhe um alimento num ensaio, ele escolherá o mesmo alimento no próximo ensaio com probabilidade de 50 %, e ele escolherá os outros alimentos nesse próximo ensaio com probabilidades iguais de 25 %.
© Determine um vetor estacionário para esta Cadeia de Markov.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um animal de laboratório que escolhe entre 3 tipos de alimentos todo dia. Se ele escolhe um alimento hoje, há 50% de chance de ele escolher o mesmo amanhã, e 25% de chance de escolher cada um dos outros dois alimentos. Vamos usar Cadeias de Markov para encontrar o vetor estacionário dessa cadeia, que basicamente nos diz qual a probabilidade de o animal estar com cada tipo de alimento no longo prazo.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz de transição. Essa matriz representa as probabilidades de passar de um estado (tipo de alimento) para outro. Como temos 3 alimentos, nossa matriz será 3x3.
P = 0.5 & 0.25 & 0.25 0.25 & 0.5 & 0.25 0.25 & 0.25 & 0.5
Aqui, cada linha representa o alimento atual e cada coluna representa o próximo alimento escolhido. Por exemplo, da primeira linha, se o animal está no Alimento 1, há 50% de chance de ficar no Alimento 1, 25% de ir para o Alimento 2 e 25% para o Alimento 3.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor estacionário v = vP . Esse vetor satisfaz a equação:
E, claro, a soma das componentes de deve ser 1, já que representam probabilidades.

Passo 4

Observando a simetria da matriz de transição vA = vB = vC = 13 , percebemos que todas as linhas são iguais, o que indica que todas as componentes do vetor estacionário serão iguais. Vamos chamar cada componente de v = 13 13 13 .
Então:
Portanto, o vetor estacionário é:

Resposta

O vetor estacionário para esta Cadeia de Markov é:
v = 13 13 13

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