Questão 13 Em cada um dos seguintes itens, encontre a dimensão do subespaço de gerada pelos vetores dados:
onde, é o espaço vetorial de polinômios de grau menor ou igual a 3.
Passo 1
Vamos resolver a questão que pede para encontrar a dimensão de certos subespaços em , que é o espaço vetorial de polinômios de grau menor ou igual a 3. Para isso, vamos analisar conjuntos de polinômios e determinar quantos deles são linearmente independentes. Isso vai nos dar a dimensão do subespaço gerado por cada conjunto.
Passo 2
Item 1:
Primeiro, representamos cada polinômio como um vetor de coeficientes:
é igual a , então o vetor é .
é igual a , então o vetor é .
é igual a , então o vetor é .
Montamos uma matriz com esses vetores como colunas:
Agora, vamos calcular o posto dessa matriz. Se o posto for igual ao número de vetores, eles são linearmente independentes.
Após realizar as operações de linha, vemos que os três vetores são linearmente independentes. Portanto, a dimensão do subespaço é 3.
Passo 3
Item 2:
Representamos os polinômios como vetores:
Montamos a matriz:
Ao calcular o posto, percebemos que o quarto vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos anteriores (). Portanto, apenas três vetores são necessários para gerar o subespaço, e eles são linearmente independentes.
A dimensão do subespaço é 3.
Passo 4
Item 3:
Representamos os polinômios como vetores:
Montamos a matriz:
Observamos que o terceiro vetor não pode ser obtido a partir dos dois primeiros, e os dois primeiros são linearmente independentes. Portanto, todos os três vetores são necessários para gerar o subespaço.
A dimensão do subespaço é 3.
Passo 5
Item 4:
Representamos os polinômios como vetores:
Montamos a matriz:
Calculando o posto dessa matriz, vemos que os dois vetores são linearmente independentes, pois nenhum é múltiplo do outro.