Questão 13 Em cada um dos seguintes itens, encontre a dimensão do subespaço de P3 gerada pelos vetores dados:
  • x, x-1, x^2+1
  • x, x-1, x^2+1, x^2-1
  • x^2, x^2-x-1, x+1
  • 2 x, x-2
    onde, P3 é o espaço vetorial de polinômios de grau menor ou igual a 3.

Passo 1

Vamos resolver a questão que pede para encontrar a dimensão de certos subespaços em , que é o espaço vetorial de polinômios de grau menor ou igual a 3. Para isso, vamos analisar conjuntos de polinômios e determinar quantos deles são linearmente independentes. Isso vai nos dar a dimensão do subespaço gerado por cada conjunto.

Passo 2

Item 1: 0 & 0 & 1 1 & 1 & 0 0 & -1 & 1
Primeiro, representamos cada polinômio como um vetor de coeficientes:
  • é igual a , então o vetor é .
  • é igual a , então o vetor é .
  • é igual a , então o vetor é .
Montamos uma matriz com esses vetores como colunas:
Agora, vamos calcular o posto dessa matriz. Se o posto for igual ao número de vetores, eles são linearmente independentes.
Após realizar as operações de linha, vemos que os três vetores são linearmente independentes. Portanto, a dimensão do subespaço é 3.

Passo 3

Item 2: 0 & 0 & 1 & 1 1 & 1 & 0 & 0 0 & -1 & 1 & -1
Representamos os polinômios como vetores:
Montamos a matriz:
Ao calcular o posto, percebemos que o quarto vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos anteriores ( ). Portanto, apenas três vetores são necessários para gerar o subespaço, e eles são linearmente independentes.
A dimensão do subespaço é 3.

Passo 4

Item 3: 1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 0 & -1 & 1
Representamos os polinômios como vetores:
Montamos a matriz:
Observamos que o terceiro vetor não pode ser obtido a partir dos dois primeiros, e os dois primeiros são linearmente independentes. Portanto, todos os três vetores são necessários para gerar o subespaço.
A dimensão do subespaço é 3.

Passo 5

Item 4: 0 & 0 2 & 1 0 & -2
Representamos os polinômios como vetores:
Montamos a matriz:
Calculando o posto dessa matriz, vemos que os dois vetores são linearmente independentes, pois nenhum é múltiplo do outro.
A dimensão do subespaço é 2.

Resposta

As dimensões dos subespaços são:
  1. 3
  2. 3
  3. 3
  4. 2

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