Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um conjunto de vetores e precisamos determinar se essa base é positiva ou negativa. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de produto vetorial e orientação de uma base, que estão relacionados ao cálculo do determinante da matriz formada pelos vetores da base.
Passo 2
Vamos começar calculando o produto vetorial . O produto vetorial entre dois vetores no espaço tridimensional pode ser calculado usando a regra da mão direita ou a matriz determinante com os vetores unitários , e .
Sabemos que (porque , e o produto vetorial é anticomutativo). Então:
Passo 3
Agora, temos a base completa: . Para determinar se a base é positiva ou negativa, precisamos calcular o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for positivo, a base é dita positiva; se for negativo, é negativa.
Vamos montar a matriz com os vetores da base como colunas:
Passo 4
Vamos calcular o determinante dessa matriz. Para matrizes diagonais (onde todos os elementos fora da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.
Então:
Resposta
Como o determinante é negativo (), a base é uma base negativa.