(b) i, j, 3 j times i é base positiva ou negativa? Justifique.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um conjunto de vetores i, j, 3 j times i e precisamos determinar se essa base é positiva ou negativa. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de produto vetorial e orientação de uma base, que estão relacionados ao cálculo do determinante da matriz formada pelos vetores da base.

Passo 2

Vamos começar calculando o produto vetorial 3 j times i. O produto vetorial entre dois vetores no espaço tridimensional pode ser calculado usando a regra da mão direita ou a matriz determinante com os vetores unitários i, j e k.
Sabemos que j times i = -k (porque i times j = k, e o produto vetorial é anticomutativo). Então:
3 j times i = 3 (-k) = -3 k

Passo 3

Agora, temos a base completa: i, j, -3 k. Para determinar se a base é positiva ou negativa, precisamos calcular o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for positivo, a base é dita positiva; se for negativo, é negativa.
Vamos montar a matriz A com os vetores da base como colunas:
A = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -3

Passo 4

Vamos calcular o determinante dessa matriz. Para matrizes diagonais (onde todos os elementos fora da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.
Então:
det(A) = 1 times 1 times (-3) = -3

Resposta

Como o determinante é negativo ( -3), a base i, j, 3 j times i é uma base negativa.

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