Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três vetores no espaço tridimensional: , e . O objetivo é mostrar que esses vetores são linearmente dependentes (LD). Para isso, precisamos entender o conceito de combinação linear e verificar se existe uma combinação não trivial dos vetores que resulte no vetor zero.
Passo 2
Vamos relembrar o que significa vetores serem linearmente dependentes. Três vetores são LD se pelo menos um deles puder ser escrito como uma combinação linear dos outros dois. Em termos matemáticos, isso significa que existem escalares , e , não todos zero, tais que:
Passo 3
Vamos montar o sistema de equações baseado na combinação linear acima:
Isso nos dá o seguinte sistema:
Passo 4
Observamos que a primeira e a terceira equações são iguais:
Isso significa que temos apenas duas equações distintas para três incógnitas. Geralmente, isso indica que existe uma solução não trivial (valores de , , diferentes de zero) que satisfaz o sistema.
Passo 5
Vamos resolver o sistema simplificado:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Passo 6
Substituindo na primeira equação:
Passo 7
Então, temos expressões para e em termos de :
Podemos escolher (qualquer valor diferente de zero serve) para encontrar uma solução específica:
Passo 8
Verificando a combinação linear com esses valores:
Isso confirma que os vetores são linearmente dependentes.