Mostre que os vetores e são LD.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três vetores no espaço tridimensional: , e . O objetivo é mostrar que esses vetores são linearmente dependentes (LD). Para isso, precisamos entender o conceito de combinação linear e verificar se existe uma combinação não trivial dos vetores que resulte no vetor zero.

Passo 2

Vamos relembrar o que significa vetores serem linearmente dependentes. Três vetores são LD se pelo menos um deles puder ser escrito como uma combinação linear dos outros dois. Em termos matemáticos, isso significa que existem escalares , e , não todos zero, tais que:

Passo 3

Vamos montar o sistema de equações baseado na combinação linear acima:
Isso nos dá o seguinte sistema:

Passo 4

Observamos que a primeira e a terceira equações são iguais:
Isso significa que temos apenas duas equações distintas para três incógnitas. Geralmente, isso indica que existe uma solução não trivial (valores de , , diferentes de zero) que satisfaz o sistema.

Passo 5

Vamos resolver o sistema simplificado:
Subtraindo a primeira equação da segunda:

Passo 6

Substituindo na primeira equação:

Passo 7

Então, temos expressões para e em termos de :
Podemos escolher (qualquer valor diferente de zero serve) para encontrar uma solução específica:

Passo 8

Verificando a combinação linear com esses valores:
Isso confirma que os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

Os vetores , e são linearmente dependentes.

Exercícios relacionados

Questão 14 Seja S o subespaço de consistindo em todos os polinômios da forma . Encontre uma base para , onde, é o espaço vetorial de polinômios de grau menor ou igual a 3.
Num dado dia, cada aluno está doente ou saudável. Dos alunos que estão saudáveis hoje, estarão saudáveis amanhã. Dos alunos que estão doentes hoje, estarão doentes amanhã.
(b) Se na segunda-feira dos alunos estão doentes que fração ou porcentagem dos alunos deverá estar doente na terça-feira? E na quarta-feira?
(b) é base positiva ou negativa? Justifique.
Um animal de laboratório pode comer qualquer um de 3 tipos de alimentos a cada dia. As anotações do laboratório indicam que, se o animal escolhe um alimento num ensaio, ele escolherá o mesmo alimento no próximo ensaio com probabilidade de , e ele escolherá os outros alimentos nesse próximo ensaio com probabilidades iguais de .
© Determine um vetor estacionário para esta Cadeia de Markov.