No ano de 99 em uma estância turística foi feita uma pesquisa e constatou-se que apenas
dos visitantes estavam satisfeitos com a infra-estrutura oferecida. A prefeitura com o intuito de aumentar essa proporção, fez algumas melhorias na cidade e depois de um ano, resolveu verificar se as mesmas produziram o efeito desejado. Para isso entrevistou 50 turistas e decidiu considerar as melhorias suficientes se pelo menos 39 turistas estivessem satisfeitos com a infra-estrutura da cidade.
(a) Formule esse problema como um problema de teste de hipóteses. (Quem é p?)
(b) Quais os significados dos erros de tipo I e de tipo II?
© Qual a região crítica especificada pelo prefeito e o correspondente nível de significância?
(d) Suponha que, na realidade,
dos turistas estão satisfeitos com a nova infra-estrutura. Qual a probabilidade de que as melhorias não sejam consideradas satisfatórias?
(R: © 0,0056 (d) 0,2894)
(a) Formule esse problema como um problema de teste de hipóteses. (Quem é p?)
(b) Quais os significados dos erros de tipo I e de tipo II?
© Qual a região crítica especificada pelo prefeito e o correspondente nível de significância?
(d) Suponha que, na realidade,
(R: © 0,0056 (d) 0,2894)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema juntos! A gente está lidando com teste de hipóteses, que é uma parte da estatística usada para tomar decisões com base em dados. Aqui, a prefeitura quer saber se as melhorias na estância turística realmente aumentaram a satisfação dos visitantes. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre proporções, distribuição binomial e níveis de significância.
Passo 2
(a) Formule esse problema como um problema de teste de hipóteses.
Primeiro, vamos definir o que estamos testando. Queremos saber se a proporção de turistas satisfeitos aumentou depois das melhorias.
- Hipótese nula (
): A proporção de turistas satisfeitos continua sendo , ou seja, . - Hipótese alternativa (
): A proporção de turistas satisfeitos aumentou, ou seja, .
Aqui,
representa a verdadeira proporção de turistas satisfeitos após as melhorias.
Passo 3
(b) Quais os significados dos erros de tipo I e de tipo II?
-
Erro de Tipo I: É quando a gente rejeita a hipótese nula
quando ela é verdadeira. No nosso caso, seria concluir que a proporção de satisfação aumentou quando, na verdade, ela continuou em . -
Erro de Tipo II: Acontece quando a gente não rejeita a hipótese nula
quando a hipótese alternativa é verdadeira. Ou seja, pensar que as melhorias não tiveram efeito quando, na realidade, a satisfação aumentou.
Passo 4
© Qual a região crítica especificada pelo prefeito e o correspondente nível de significância?
A região crítica é o conjunto de resultados que nos leva a rejeitar a hipótese nula. O prefeito decidiu que pelo menos 39 de 50 turistas precisam estar satisfeitos para considerar as melhorias suficientes.
Vamos calcular o nível de significância, que é a probabilidade de cometer um erro de Tipo I.
- Número mínimo de turistas satisfeitos: 39
- Total de turistas entrevistados: 50
- Proporção mínima:
ou
Usando a distribuição binomial ou normal aproximada, calcula-se a probabilidade de obter 39 ou mais turistas satisfeitos quando
. Essa probabilidade é o nível de significância:
Passo 5
(d) Suponha que, na realidade,
dos turistas estão satisfeitos com a nova infra-estrutura. Qual a probabilidade de que as melhorias não sejam consideradas satisfatórias?
Aqui, queremos encontrar a probabilidade de que menos de 39 turistas estejam satisfeitos, mesmo que na verdade
estejam satisfeitos. Isso é a probabilidade de cometer um erro de Tipo II.
Calculando:
Resposta
(a)
-
: -
:
(b)
- Tipo I: Rejeitar
quando . - Tipo II: Não rejeitar
quando .
© Região crítica:
,
.
(d)
.