No ano de 99 em uma estância turística foi feita uma pesquisa e constatou-se que apenas 60% dos visitantes estavam satisfeitos com a infra-estrutura oferecida. A prefeitura com o intuito de aumentar essa proporção, fez algumas melhorias na cidade e depois de um ano, resolveu verificar se as mesmas produziram o efeito desejado. Para isso entrevistou 50 turistas e decidiu considerar as melhorias suficientes se pelo menos 39 turistas estivessem satisfeitos com a infra-estrutura da cidade.
(a) Formule esse problema como um problema de teste de hipóteses. (Quem é p?)
(b) Quais os significados dos erros de tipo I e de tipo II?
© Qual a região crítica especificada pelo prefeito e o correspondente nível de significância?
(d) Suponha que, na realidade, 80% dos turistas estão satisfeitos com a nova infra-estrutura. Qual a probabilidade de que as melhorias não sejam consideradas satisfatórias?
(R: © 0,0056 (d) 0,2894)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema juntos! A gente está lidando com teste de hipóteses, que é uma parte da estatística usada para tomar decisões com base em dados. Aqui, a prefeitura quer saber se as melhorias na estância turística realmente aumentaram a satisfação dos visitantes. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre proporções, distribuição binomial e níveis de significância.

Passo 2

(a) Formule esse problema como um problema de teste de hipóteses.

Primeiro, vamos definir o que estamos testando. Queremos saber se a proporção de turistas satisfeitos aumentou depois das melhorias.
  • Hipótese nula ( ): A proporção de turistas satisfeitos continua sendo , ou seja, .
  • Hipótese alternativa ( ): A proporção de turistas satisfeitos aumentou, ou seja, .
Aqui, p representa a verdadeira proporção de turistas satisfeitos após as melhorias.

Passo 3

(b) Quais os significados dos erros de tipo I e de tipo II?

  • Erro de Tipo I: É quando a gente rejeita a hipótese nula quando ela é verdadeira. No nosso caso, seria concluir que a proporção de satisfação aumentou quando, na verdade, ela continuou em .
  • Erro de Tipo II: Acontece quando a gente não rejeita a hipótese nula quando a hipótese alternativa é verdadeira. Ou seja, pensar que as melhorias não tiveram efeito quando, na realidade, a satisfação aumentou.

Passo 4

© Qual a região crítica especificada pelo prefeito e o correspondente nível de significância?

A região crítica é o conjunto de resultados que nos leva a rejeitar a hipótese nula. O prefeito decidiu que pelo menos 39 de 50 turistas precisam estar satisfeitos para considerar as melhorias suficientes.
Vamos calcular o nível de significância, que é a probabilidade de cometer um erro de Tipo I.
  • Número mínimo de turistas satisfeitos: 39
  • Total de turistas entrevistados: 50
  • Proporção mínima: ou
Usando a distribuição binomial ou normal aproximada, calcula-se a probabilidade de obter 39 ou mais turistas satisfeitos quando . Essa probabilidade é o nível de significância:

Passo 5

(d) Suponha que, na realidade, dos turistas estão satisfeitos com a nova infra-estrutura. Qual a probabilidade de que as melhorias não sejam consideradas satisfatórias?

Aqui, queremos encontrar a probabilidade de que menos de 39 turistas estejam satisfeitos, mesmo que na verdade estejam satisfeitos. Isso é a probabilidade de cometer um erro de Tipo II.
Calculando:

Resposta

(a)
  • :
  • :
(b)
  • Tipo I: Rejeitar quando .
  • Tipo II: Não rejeitar quando .
© Região crítica: , .
(d) .

Exercícios relacionados