Sabe-se que há dez anos a população paulistana era constituída de de gaúchos. Um pesquisador alega que essa população aumentou, pois a migração gaúcha é uma das maiores do país. Para testar sua teoria, coletou uma amostra de 400 pessoas residentes na cidade encontrando 75 gaúchos.
(a) Formule esse problema como um problema de teste de hipóteses. (Quem é p?)
(b) Interprete os erros de tipo I e de tipo II.
© Qual a conclusão do pesquisador ao nível de significância ?
(R: © Não rejeita a hipotese nula)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um problema de estatística envolvendo a população de gaúchos em São Paulo. Há dez anos, 15% da população paulistana eram gaúchos. Um pesquisador acredita que esse número aumentou e quer testar essa teoria. Para isso, ele coletou uma amostra de 400 pessoas e encontrou que 75 delas são gaúchos. Vamos usar teste de hipóteses para verificar se a proporção de gaúchos realmente aumentou. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de estatística como hipótese nula, hipótese alternativa, erro tipo I e II, além de saber calcular o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos formular o problema como um teste de hipóteses. A hipótese nula ( ) geralmente representa o estado atual ou a ausência de efeito, enquanto a hipótese alternativa ( ) representa o que o pesquisador quer provar.
  • Hipótese Nula ( ): A proporção de gaúchos na população paulistana é de 15%, ou seja, .
  • Hipótese Alternativa ( ): A proporção de gaúchos na população paulistana é maior que 15%, ou seja, .
Aqui, representa a verdadeira proporção de gaúchos na população atual.

Passo 3

Agora, vamos interpretar os erros do tipo I e tipo II.
  • Erro Tipo I: Rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira. Neste contexto, seria concluir que a proporção de gaúchos aumentou quando, na verdade, ela continua em 15%.
  • Erro Tipo II: Não rejeitar a hipótese nula quando a hipótese alternativa é verdadeira. Ou seja, não perceber que a proporção de gaúchos realmente aumentou acima de 15%.

Passo 4

Vamos calcular a estatística de teste para determinar se devemos rejeitar a hipótese nula. Primeiro, encontramos a proporção observada na amostra:
Agora, calculamos o erro padrão ( ) da proporção:
Onde:
  • (proporção segundo )
  • (tamanho da amostra)

Passo 5

Em seguida, calculamos o valor da estatística de teste:
Agora, comparamos esse valor com o valor crítico da distribuição normal para o nível de significância escolhido. Vamos para o próximo passo.

Passo 6

O nível de significância dado é de 10%, ou seja, . Para um teste unilateral (já que a hipótese alternativa é ), o valor crítico de é aproximadamente 1,28 (consultando a tabela da distribuição normal).
Como é maior que 1,28, a gente rejeita a hipótese nula.

Passo 7

Conclusão: Com um nível de significância de 10%, o pesquisador tem evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula e concluir que a proporção de gaúchos na população paulistana aumentou acima de 15%.

Resposta

© Não rejeita a hipótese nula.

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(a) Formule esse problema como um problema de teste de hipóteses. (Quem é p?)
(b) Quais os significados dos erros de tipo I e de tipo II?
© Qual a região crítica especificada pelo prefeito e o correspondente nível de significância?
(d) Suponha que, na realidade, dos turistas estão satisfeitos com a nova infra-estrutura. Qual a probabilidade de que as melhorias não sejam consideradas satisfatórias?
(R: © 0,0056 (d) 0,2894)
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(a) Formule esse problema como um problema de teste de hipóteses. (Quem é p?)
(b) Interprete os erros de tipo I e de tipo II.
© Qual a conclusão do pesquisador ao nível de significância ?
(R: © rejeita a hipotese nula)
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