Sabe-se que 30% dos pacientes submetidos a uma certa cirurgia, através de uma técnica tradicional, apresentam um problema pós-operatório. Uma equipe médica garante ter desenvolvido uma nova técnica que elimina esse problema em mais de
dos casos. Um hospital resolve por a prova a afirmação da equipe, aplicando a nova técnica em 25 pacientes e adotando-a se no máximo 4 pacientes apresentarem o problema.
(a) Formule esse problema como um problema de teste de hipóteses. (Quem é p?)
(b) Interprete os erros de tipo I e de tipo II.
© Qual a região crítica e o nível de significância?
(d) Se a técnica resolve o problema em
dos pacientes, qual a probabilidade dela não ser adotada?
(R: ©
(d) 1 )
(a) Formule esse problema como um problema de teste de hipóteses. (Quem é p?)
(b) Interprete os erros de tipo I e de tipo II.
© Qual a região crítica e o nível de significância?
(d) Se a técnica resolve o problema em
(R: ©
Passo 1
Vamos resumir o problema! Temos uma cirurgia que, com a técnica tradicional, 30% dos pacientes têm problemas pós-operatórios. Uma equipe médica desenvolveu uma nova técnica que, segundo eles, elimina esse problema em mais de 70% dos casos. O hospital quer testar essa afirmação aplicando a nova técnica em 25 pacientes e vai adotá-la se no máximo 4 pacientes tiverem problemas. Vamos usar Teste de Hipóteses para resolver isso. Precisamos entender conceitos como hipóteses nula e alternativa, erros tipo I e II, região crítica e nível de significância.
Passo 2
(a) Formulando o problema como um teste de hipóteses
Primeiro, vamos definir nossa hipótese nula (H₀) e a hipótese alternativa (H₁).
-
Hipótese Nula (H₀): A nova técnica não melhora a situação, ou seja, a proporção de sucesso é igual ou menor que 70%. Matemáticamente, H₀: p ≤ 0,70.
-
Hipótese Alternativa (H₁): A nova técnica melhora a situação, eliminando o problema em mais de 70% dos casos. Matemáticamente, H₁: p > 0,70.
Aqui, p representa a proporção de casos em que a nova técnica elimina o problema pós-operatório.
Passo 3
(b) Interpretando os erros de Tipo I e Tipo II
No contexto dos testes de hipóteses:
-
Erro Tipo I: Rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira. Ou seja, o hospital decide adotar a nova técnica mesmo que ela não elimine o problema em mais de 70% dos casos.
-
Erro Tipo II: Não rejeitar a hipótese nula quando a hipótese alternativa é verdadeira. Ou seja, o hospital decide não adotar a nova técnica mesmo que ela realmente elimine o problema em mais de 70% dos casos.
Passo 4
© Determinando a região crítica e o nível de significância
A região crítica é o conjunto de valores que leva à rejeição da hipótese nula. No problema, o hospital vai adotar a nova técnica se no máximo 4 pacientes apresentarem o problema. Portanto:
O nível de significância é a probabilidade máxima de cometer um erro Tipo I. Geralmente, é denotado por α. No contexto, como a região crítica é definida para até 4 pacientes, o nível de significância seria a probabilidade de que 4 ou menos pacientes apresentem problemas sob a hipótese nula.
Passo 5
(d) Calculando a probabilidade de a técnica não ser adotada quando ela resolve o problema em 85% dos pacientes
Aqui, a nova proporção real de sucesso é 85%, ou seja, p = 0,85. Queremos saber a probabilidade de mais de 4 pacientes apresentarem problemas, ou seja, P(X > 4).
No entanto, se 85% dos pacientes são bem-sucedidos, a proporção de falhas é 15%. Para 25 pacientes, a expectativa de falhas seria:
Como a região crítica para adoção é X ≤ 4, a probabilidade de mais de 4 pacientes terem problemas é muito baixa. Na verdade, utilizando a distribuição binomial, essa probabilidade é praticamente 1, ou seja, a técnica será adotada.
Resposta
(a)
- Hipótese Nula (H₀):
- Hipótese Alternativa (H₁):
Ondeé a proporção de casos em que a nova técnica elimina o problema pós-operatório.
(b)
- Erro Tipo I: Adotar a nova técnica mesmo que ela não elimine o problema em mais de 70% dos casos.
- Erro Tipo II: Não adotar a nova técnica mesmo que ela realmente elimine o problema em mais de 70% dos casos.
©
(d)
Probabilidade de a técnica não ser adotada:
Probabilidade de a técnica não ser adotada:
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(d) Suponha que, na realidade,
(R: © 0,0056 (d) 0,2894)