Uma determinada organização de consumidores normalmente reporta o número de defeitos graves de cada carro novo examinado. Suponha que o número de tais defeitos de certo modelo seja uma variável aleatória com valor médio 3,2 e desvio padrão 2,4. Dentre 100 carros selecionados aleatoriamente desse modelo, qual é a probabilidade de o número médio da amostra de defeitos graves exceder 4? (R:0,0004)
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente tem uma empresa que conta quantos defeitos graves têm em cada carro novo que examina. A média desses defeitos é 3,2 e o desvio padrão é 2,4. Agora, queremos saber qual a chance de, em uma amostra de 100 carros escolhidos aleatoriamente desse modelo, a média de defeitos ser maior que 4. Vamos precisar usar um pouco de estatística, especificamente o Teorema Central do Limite, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que quando a gente pega uma amostra grande (como 100 carros), a distribuição da média das amostras tende a ser normal, mesmo que a distribuição original dos defeitos não seja normal. Isso é o que o Teorema Central do Limite diz. Então, podemos usar a distribuição normal para calcular essa probabilidade.
Passo 3
Agora, vamos calcular a média e o desvio padrão da distribuição da média das amostras. A média da amostra
é igual à média da população: 3,2. O desvio padrão da amostra
é o desvio padrão da população dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra:
Passo 4
Queremos encontrar a probabilidade de a média da amostra ser maior que 4. Para isso, vamos calcular o valor de z, que representa quantos desvios padrão o valor 4 está acima da média da amostra:
Passo 5
Com o valor de z, consultamos a tabela da distribuição normal ou usamos uma calculadora para encontrar a probabilidade correspondente. Um z de 3,33 indica que estamos procurando a área à direita desse valor na curva normal.
Passo 6
A probabilidade de z ser maior que 3,33 é bem pequena. Usando a tabela ou a calculadora, encontramos que essa probabilidade é aproximadamente 0,0004.
Resposta
A probabilidade de a média da amostra de defeitos graves exceder 4 é aproximadamente 0,0004.