O antebraço mostrado abaixo está posicionado em um ângulo theta em relação à parte superior do braço e uma massa de 8,0 kg é mantida na mão. A massa total do antebraço e da mão é de 3,0 kg e seu centro de massa está a 10,0 cm do cotovelo.
(a) Qual é a magnitude da força que o músculo bíceps exerce no antebraço? considere theta=60^circ.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de estática! Temos um antebraço inclinado a um ângulo de theta = 60^circ com o braço superior. Na mão, tem uma massa de 8,0, kg e o antebraço junto com a mão tem uma massa total de 3,0, kg, com o centro de massa a 10,0, cm do cotovelo. Nosso objetivo aqui é descobrir qual a força que o músculo bíceps está exercendo no antebraço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o sistema está em equilíbrio estático, ou seja, não está acelerando. Isso significa que a soma de todas as forças e a soma de todos os torques (momentos) em torno do ponto de apoio (cotovelo) devem ser iguais a zero.

Passo 3

Vamos identificar as forças que atuam no antebraço:
  1. Peso da massa na mão ( Pm): Atua para baixo, calculado por Pm = m cdot g, onde m = 8,0, kg e g = 9,8, m/s²².
  2. Peso do antebraço e da mão ( Pab): Também atua para baixo, calculado por Pab = mab cdot g, onde mab = 3,0, kg.
  3. Força do bíceps ( Fb): Atua puxando o antebraço para cima, formando um ângulo de theta = 60^circ com o braço.

Passo 4

Vamos calcular os pesos:
  • Pm = 8,0, kg times 9,8, m/s² = 78,4, N²
  • Pab = 3,0, kg times 9,8, m/s² = 29,4, N²

Passo 5

Agora, vamos calcular os momentos em relação ao cotovelo. O torque é dado por tau = F cdot d cdot sin(alpha), onde:
  • F é a força aplicada,
  • d é a distância até o ponto de rotação,
  • alpha é o ângulo entre a força e a linha de ação.
Como o sistema está em equilíbrio, a soma dos torques no sentido horário deve ser igual à soma dos torques no sentido anti-horário.

Passo 6

Vamos assumir que o antebraço está sendo puxado para cima pelo bíceps, criando um torque anti-horário, enquanto os pesos na mão e no antebraço criam torques horários.
Então, a equação de equilíbrio de torques fica:
Fb cdot db cdot sin(theta) = Pm cdot dm + Pab cdot dab
Onde:
  • db é a distância do ponto de aplicação do bíceps até o cotovelo,
  • dm é a distância da massa na mão até o cotovelo,
  • dab é a distância do centro de massa do antebraço até o cotovelo.

Passo 7

No problema, não foi dada a distância db. Vamos supor que o bíceps está ligado a uma distância db que precisamos determinar ou é negligenciada. Porém, para continuar, precisamos dessa distância. Se não for fornecida, geralmente assume-se que db = dab.
Mas para simplificar, vamos considerar que a força do bíceps está sendo aplicada a uma distância db = 0,10, m (já que 10,0, cm = 0,10, m).

Passo 8

Substituindo os valores na equação:
Fb cdot 0,10 cdot sin(60^circ) = 78,4 cdot dm + 29,4 cdot 0,10
Mas precisamos saber dm, a distância da massa na mão até o cotovelo. Vamos assumir que a massa está a uma distância dm = 0,40, m do cotovelo.

Passo 9

Agora, plugando todos os valores:
Fb cdot 0,10 cdot sin(60^circ) = 78,4 cdot 0,40 + 29,4 cdot 0,10
Fb cdot 0,10 cdot 0,8660 = 31,36 + 2,94
Fb cdot 0,0866 = 34,30

Passo 10

Isolando Fb:
Fb = 34,300,0866 approx 396, N

Resposta

A magnitude da força que o músculo bíceps exerce no antebraço é aproximadamente 396, N.

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