Determine o trabalho realizado para carregar a carga q=+2 mu C, carga pontual a partir do ponto A=(0,-3,0), para o ponto B= (1,0,0), em um campo elétrico não uniforme E=(3 x+y) i+x j-3 k ao longo de:
(b) Um caminho em forma de L através da origem.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem que calcular o trabalho feito pra carregar uma carga elétrica de q = +2,mu C de um ponto A = (0, -3, 0) até o ponto B = (1, 0, 0) num campo elétrico que não é uniforme, dado por E = (3x + y),i + x,j - 3,k. A gente vai seguir um caminho em forma de L passando pela origem. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular trabalho em um campo elétrico e fazer integrações ao longo do caminho que a carga vai percorrer.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o caminho em L em duas partes: de A até a origem (0, 0, 0) e da origem até B. Isso facilita porque podemos calcular o trabalho em cada trecho separadamente e depois somar os resultados.

Passo 3

Vamos calcular o trabalho do ponto A até a origem. Nesse trecho, vamos mover a carga ao longo do eixo y, já que x e z são constantes (0 e 0). A posição geral nesse trecho pode ser representada por (0, y, 0), onde y varia de -3 a 0.
A expressão do campo elétrico nesse caminho fica:
E = (3 cdot 0 + y),i + 0,j - 3,k = y,i - 3,k
O deslocamento diferencial é:
dr = dy,j
O trabalho W1 nesse trecho é a integral do produto escalar de E e dr:
W1 = q integral-3^0 E cdot dr = q integral-3^0 (y,i - 3,k) cdot j, dy = q integral-3^0 0, dy = 0
Então, o trabalho nesse trecho é zero porque o campo elétrico é perpendicular ao deslocamento.

Passo 4

Agora, vamos calcular o trabalho da origem até o ponto B. Nesse trecho, vamos mover a carga ao longo do eixo x, já que y e z são constantes (0 e 0). A posição geral nesse trecho é (x, 0, 0), onde x varia de 0 a 1.
A expressão do campo elétrico nesse caminho fica:
E = (3x + 0),i + x,j - 3,k = 3x,i + x,j - 3,k
O deslocamento diferencial é:
dr = dx,i
O trabalho W2 nesse trecho é:
W2 = q integral0^1 E cdot dr = q integral0^1 (3x,i + x,j - 3,k) cdot i, dx = q integral0^1 3x, dx
W2 = q [ 3x^22 ]0^1 = q ( 32 - 0 ) = 3q2
Substituindo q = 2,mu C = 2 times 10^-6,C:
W2 = 3 times 2 times 10^-62 = 3 times 10^-6,J = 3,mu J

Passo 5

Agora, vamos somar os trabalhos dos dois trechos para encontrar o trabalho total:
Wtotal = W1 + W2 = 0 + 3,mu J = 3,mu J

Resposta

O trabalho realizado é de 3,mu J.

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