Uma antena de 15m de altura é presa ao chão por 4 cabos de aço. O angulo formado por cada um deles com a ponta da antena mede 45°. Quantos metros de cabo de aço foram usados, aproximadamente, para prender essa antena?

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos uma antena de 15 metros de altura que está presa no chão por 4 cabos de aço. Cada cabo forma um ângulo de 45° com a ponta da antena. A gente precisa descobrir quantos metros de cabo foram usados no total. Para isso, vamos usar um pouco de trigonometria, que é a parte da matemática que estuda os triângulos e os ângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos focar em um único cabo. Como a antena está presa no chão, podemos imaginar um triângulo retângulo, onde a altura da antena (15m) é um dos catetos, e o cabo de aço é a hipotenusa que forma um ângulo de 45° com a antena.

Passo 3

Sabemos que em um triângulo retângulo, a soma dos ângulos é 180°, e um dos ângulos é 90° (o reto). Como o outro ângulo é 45°, o terceiro também é 45°, formando um triângulo retângulo isósceles. Isso significa que os dois catetos têm o mesmo comprimento.

Passo 4

Para encontrar o comprimento do cabo (hipotenusa), vamos usar a função trigonométrica seno, que relaciona o ângulo com os lados oposto e hipotenusa. A fórmula é:
sin(theta) = cateto opostohipotenusa
Aqui, theta = 45°, o cateto oposto é 15m, e queremos encontrar a hipotenusa.

Passo 5

Rearranjando a fórmula para encontrar a hipotenusa:
hipotenusa = cateto opostosin(theta)
Substituindo os valores:
hipotenusa = 15sin(45°)
Sabemos que sin(45°) = raiz22 approx 0,7071.

Passo 6

Agora vamos calcular:
hipotenusa = 150,7071 approx 21,21 metros
Então, cada cabo tem aproximadamente 21,21 metros de comprimento.

Passo 7

Como são 4 cabos, multiplicamos o comprimento de um cabo pelo número total de cabos:
Total de cabos = 4 times 21,21 approx 84,84 metros

Resposta

Foram usados aproximadamente 84,84 metros de cabo de aço para prender a antena.

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