Um cano de escoamento, cuja secção transversal tem 30 cm ² de área, esvazia um reservatório de água em 4 horas. Em quanto tempo se esvaziaria esse mesmo reservatório se o cano de escoamento tivesse 12 cm ² de área?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um cano de escoamento com uma área de secção transversal de 30 cm² que esvazia um reservatório em 4 horas. A pergunta é: quanto tempo levaria para esvaziar o mesmo reservatório com um cano de área de 12 cm²?
Vamos precisar usar conceitos de fluxo de fluidos, especificamente a relação entre a área do cano e o tempo necessário para esvaziar o reservatório.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a taxa de fluxo ($ Q $) é a quantidade de água que passa pelo cano por unidade de tempo. Ela é dada pela fórmula:
Onde:
- $ v $ é a velocidade da água.
- $ A $ é a área da secção transversal do cano.
Passo 3
Assumindo que a altura da água no reservatório permanece constante (o que simplifica nosso cálculo), a velocidade da água ($ v $) depende da área do cano. Segundo a Lei de Torricelli, a velocidade é proporcional à raiz quadrada da altura da coluna de água, mas como a altura não está mudando, podemos considerar que $ v $ é constante neste caso.
Passo 4
Com $ v $ constante, a taxa de fluxo ($ Q
A $) do cano. Ou seja:
Isso significa que, se a área diminui, a taxa de fluxo também diminui na mesma proporção.
Passo 5
O tempo ($ t
Q $). Portanto:
Como $ Q \propto A $, temos:
Passo 6
Agora, podemos relacionar os tempos e as áreas dos dois casos. Seja $ t_1 = 4 $ horas com $ A_1 = 30 $ cm², e $ t_2 $ o tempo que queremos encontrar com $ A_2 = 12 $ cm². Usando a proporção:
Substituindo os valores:
Passo 7
Resolvendo para $ t_2 $:
Resposta
O reservatório seria esvaziado em 10 horas com um cano de 12 cm² de área.