Uma antena parabólica de televisão foi construída girando a parábola de equação
com
em torno do seu eixo de simetria. Nestas condições:
Determine a distância do receptor até a borda superior da antena, considerando que a unidade de medida é dada em metros.
Determine a distância do receptor até a borda superior da antena, considerando que a unidade de medida é dada em metros.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma antena parabólica de televisão construída girando a parábola
no intervalo de
em torno do eixo de simetria. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a distância do receptor até a borda superior da antena, e tudo isso está em metros. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre parábolas e suas propriedades, especialmente o foco da parábola, que é crucial para o funcionamento dessa antena.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma parábola com abertura para cima ou para baixo é
, onde
é a distância do vértice ao foco da parábola. No nosso caso, a equação dada é
. Vamos comparar as duas equações para encontrar o valor de
.
Passo 3
Comparando
, podemos resolver para
:
Então, o foco da parábola está a 3,75 metros do vértice.
Passo 4
Agora, precisamos entender como a antena foi construída. A parábola foi girada em torno do eixo de simetria (o eixo
), formando uma superfície parabólica. A antena vai de
até
, então vamos calcular a altura máxima da antena substituindo
na equação da parábola:
Então, a altura da antena é de aproximadamente 1,6667 metros.
Passo 5
Agora, queremos a distância do receptor (que está no foco) até a borda superior da antena. Sabemos que o foco está a 3,75 metros do vértice e que a altura total da antena é de aproximadamente 1,6667 metros. Para encontrar essa distância, precisamos calcular a diferença entre a posição do foco e a altura da antena.
Passo 6
A distância do foco até a borda superior da antena é:
Então, o receptor está a aproximadamente 2,0833 metros acima da borda superior da antena.
Resposta
A distância do receptor até a borda superior da antena é de aproximadamente 2,0833 metros.
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