Desenhe uma função que seja continua mas não diferenciável em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar (ou seja, definir) uma função que seja contínua, mas que não seja diferenciável no ponto . Isso envolve os conceitos de continuidade e diferenciabilidade em cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e diferenciável, e depois construir uma função que atende a esses critérios.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre continuidade. Uma função é contínua em um ponto se não tem “saltos” ou “buracos” ali. Mais formalmente, para que uma função seja contínua em , devemos ter:
Isso significa que os limites pela esquerda e pela direita em precisam existir e ser iguais ao valor da função em .

Passo 3

Agora, sobre diferenciabilidade. Uma função é diferenciável em um ponto se ela tem uma derivada nesse ponto, ou seja, se a inclinação da tangente existe. Se a função tem um “canto” ou uma “quebra de direção” no ponto, ela não é diferenciável ali.
Então, para termos uma função que é contínua mas não diferenciável em , precisamos que a função não tenha saltos (para ser contínua) mas tenha um “canto” em (para não ser diferenciável).

Passo 4

Uma função clássica que atende a esses requisitos é a função valor absoluto. Vamos definir nossa função da seguinte forma:

Passo 5

Vamos verificar a continuidade dessa função em .
Para :
Para :
No ponto :
Os limites laterais são:
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais a , a função é contínua em .

Passo 6

Agora, vamos verificar a diferenciabilidade em .
Calculamos as derivadas pelas partes:
Para :
Para :
No ponto , as derivadas pelas duas direções são diferentes ( e ). Isso significa que a derivada não existe em , ou seja, a função não é diferenciável ali.

Resposta

A função é contínua em , mas não é diferenciável nesse ponto.

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