Desenhe uma função que seja continua mas não diferenciável em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar (ou seja, definir) uma função que seja contínua, mas que não seja diferenciável no ponto
. Isso envolve os conceitos de continuidade e diferenciabilidade em cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e diferenciável, e depois construir uma função que atende a esses critérios.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre continuidade. Uma função é contínua em um ponto se não tem “saltos” ou “buracos” ali. Mais formalmente, para que uma função
seja contínua em
, devemos ter:
Isso significa que os limites pela esquerda e pela direita em
precisam existir e ser iguais ao valor da função em
.
Passo 3
Agora, sobre diferenciabilidade. Uma função é diferenciável em um ponto se ela tem uma derivada nesse ponto, ou seja, se a inclinação da tangente existe. Se a função tem um “canto” ou uma “quebra de direção” no ponto, ela não é diferenciável ali.
Então, para termos uma função que é contínua mas não diferenciável em
, precisamos que a função não tenha saltos (para ser contínua) mas tenha um “canto” em
(para não ser diferenciável).
Passo 4
Uma função clássica que atende a esses requisitos é a função valor absoluto. Vamos definir nossa função
da seguinte forma:
Passo 5
Vamos verificar a continuidade dessa função em
.
Para
:
Para
:
No ponto
:
Os limites laterais são:
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais a
, a função é contínua em
.
Passo 6
Agora, vamos verificar a diferenciabilidade em
.
Calculamos as derivadas pelas partes:
Para
:
Para
:
No ponto
, as derivadas pelas duas direções são diferentes (
e
). Isso significa que a derivada não existe em
, ou seja, a função não é diferenciável ali.
Resposta
A função
é contínua em
, mas não é diferenciável nesse ponto.
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