O Volume de um cubo cresce a uma taxa de 10 cm^3/min. Com que rapidez estará crescendo sua área quando o comprimento de uma das arestas for 30 cm?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cubo cujo volume está aumentando a uma taxa de . Queremos descobrir com que rapidez a área da superfície desse cubo está aumentando quando cada aresta do cubo mede 30 cm.
Conteúdo da matéria: Aqui, estamos lidando com derivadas relacionadas, especificamente com taxas de variação em funções de várias variáveis. Vamos precisar usar a relação entre o volume e a área de um cubo e aplicar a regra da cadeia para derivar as expressões.

Passo 2

Vamos começar identificando as fórmulas que relacionam o volume e a área de um cubo com o comprimento de sua aresta.
  • Volume do cubo: , onde é o comprimento da aresta.
  • Área da superfície do cubo: .

Passo 3

Sabemos que a taxa de variação do volume em relação ao tempo é . Queremos encontrar a taxa de variação da área em relação ao tempo, , quando .

Passo 4

Vamos relacionar as derivadas de e com respeito a e depois com o tempo usando a regra da cadeia.
Primeiro, derivamos em relação a :
Em seguida, derivamos em relação a :

Passo 5

Agora, aplicamos a regra da cadeia para relacionar e com :
Queremos encontrar , então também aplicamos a regra da cadeia:

Passo 6

Primeiro, vamos encontrar usando a equação para :
Isolando :

Passo 7

Agora que temos , podemos substituí-lo na equação para :
Simplificando:

Passo 8

Finalmente, substituímos na expressão para :

Resposta

A área da superfície do cubo está aumentando a uma taxa de quando cada aresta mede 30 cm.

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