O Volume de um cubo cresce a uma taxa de
. Com que rapidez estará crescendo sua área quando o comprimento de uma das arestas for 30 cm?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cubo cujo volume está aumentando a uma taxa de
. Queremos descobrir com que rapidez a área da superfície desse cubo está aumentando quando cada aresta do cubo mede 30 cm.
Conteúdo da matéria: Aqui, estamos lidando com derivadas relacionadas, especificamente com taxas de variação em funções de várias variáveis. Vamos precisar usar a relação entre o volume e a área de um cubo e aplicar a regra da cadeia para derivar as expressões.
Passo 2
Vamos começar identificando as fórmulas que relacionam o volume e a área de um cubo com o comprimento de sua aresta.
- Volume do cubo:
, onde é o comprimento da aresta. - Área da superfície do cubo:
.
Passo 3
Sabemos que a taxa de variação do volume em relação ao tempo é
. Queremos encontrar a taxa de variação da área em relação ao tempo,
, quando
.
Passo 4
Vamos relacionar as derivadas de
e
com respeito a
e depois com o tempo usando a regra da cadeia.
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Em seguida, derivamos
em relação a
:
Passo 5
Agora, aplicamos a regra da cadeia para relacionar
e
com
:
Queremos encontrar
, então também aplicamos a regra da cadeia:
Passo 6
Primeiro, vamos encontrar
usando a equação para
:
Isolando
:
Passo 7
Agora que temos
, podemos substituí-lo na equação para
:
Simplificando:
Passo 8
Finalmente, substituímos
na expressão para
:
Resposta
A área da superfície do cubo está aumentando a uma taxa de
quando cada aresta mede 30 cm.
Exercícios relacionados
Uma antena parabólica de televisão foi construída girando a parábola de equação
com
em torno do seu eixo de simetria. Nestas condições:
Determine a distância do receptor até a borda superior da antena, considerando que a unidade de medida é dada em metros.
Determine a distância do receptor até a borda superior da antena, considerando que a unidade de medida é dada em metros.
Determine
Defina a derivada de
.
Para cada função, quando necessário, use o conceito de limite para esboçar o gráfico de f. Registre os interceptos OX e OY, as assíntotas horizontal e vertical (caso existam), e discuta a continuidade.
f(x)=\sqrt{x-1}+1
f(x)=\sqrt{x-1}+1