Determine
-
-
-
-
Passo 1
Beleza, vamos resolver o primeiro exercício! Aqui, queremos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
, para a função
. Vamos precisar conhecer a regra de derivação para a função arco-tangente.
Passo 2
A função dada é
. Sabemos que a derivada de
em relação a
é
. Isso vem da regra de derivação para funções inversas trigonométricas.
Passo 3
Agora, vamos para o segundo exercício. Precisamos encontrar
para a função
. Vamos usar a regra do produto, já que
é o produto de
e
.
Passo 4
Aplicando a regra do produto, temos:
Sabemos que
e
.
Passo 5
Substituindo as derivadas:
Simplificando:
Passo 6
Vamos para o terceiro exercício. Queremos determinar
para a equação implícita
. Aqui, precisaremos usar a diferenciação implícita.
Passo 7
Primeiro, diferenciamos ambos os lados da equação em relação a
:
Aplicando a regra da cadeia no lado esquerdo:
Passo 8
Vamos isolar
:
Coletemos os termos com
:
Fatorando
:
Passo 9
Por último, vamos resolver o quarto exercício. Precisamos encontrar
para a equação
. Novamente, usaremos a diferenciação implícita.
Passo 10
Diferenciando ambos os lados em relação a
:
Aplicando a regra do produto no lado esquerdo:
Passo 11
Vamos organizar os termos para isolar
:
Fatorando
:
Resposta
A derivada é
.
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.
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