Determine

Passo 1

Beleza, vamos resolver o primeiro exercício! Aqui, queremos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , para a função . Vamos precisar conhecer a regra de derivação para a função arco-tangente.

Passo 2

A função dada é . Sabemos que a derivada de em relação a é . Isso vem da regra de derivação para funções inversas trigonométricas.

Passo 3

Agora, vamos para o segundo exercício. Precisamos encontrar para a função . Vamos usar a regra do produto, já que é o produto de e .

Passo 4

Aplicando a regra do produto, temos:
Sabemos que e .

Passo 5

Substituindo as derivadas:
Simplificando:

Passo 6

Vamos para o terceiro exercício. Queremos determinar para a equação implícita . Aqui, precisaremos usar a diferenciação implícita.

Passo 7

Primeiro, diferenciamos ambos os lados da equação em relação a :
Aplicando a regra da cadeia no lado esquerdo:

Passo 8

Vamos isolar :
Coletemos os termos com :
Fatorando :

Passo 9

Por último, vamos resolver o quarto exercício. Precisamos encontrar para a equação . Novamente, usaremos a diferenciação implícita.

Passo 10

Diferenciando ambos os lados em relação a :
Aplicando a regra do produto no lado esquerdo:

Passo 11

Vamos organizar os termos para isolar :
Fatorando :

Resposta

A derivada é .

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