Uma antena parabólica de televisão foi construida girando a parábola de equação
com
em torno do seu eixo de simetria. Nestas condições:
a) Dê as coordenadas do ponto F onde deve ser instalado o receptor da antena.
b) Determine a distância do receptor até a borda superior da antena, considerando que a unidade de medida é dada em metros.
a) Dê as coordenadas do ponto F onde deve ser instalado o receptor da antena.
b) Determine a distância do receptor até a borda superior da antena, considerando que a unidade de medida é dada em metros.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Você tem uma antena parabólica construída girando a parábola
no intervalo de
ao redor do seu eixo de simetria. Precisamos descobrir:
a) As coordenadas do ponto
onde o receptor deve ser instalado.
b) A distância do receptor até a borda superior da antena, em metros.
Para isso, vamos usar conceitos de geometria das parábolas, especialmente sobre o foco e as propriedades da parábola.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma parábola com eixo de simetria no eixo
é:
Aqui,
representa a distância focal, que é a distância do vértice da parábola até o foco
.
Passo 3
Agora, vamos comparar a equação dada no problema com a equação geral da parábola:
Observando os coeficientes de
, temos:
Para encontrar
, resolvemos a equação:
Passo 4
Sabendo que o foco
está localizado a uma distância
do vértice ao longo do eixo de simetria, as coordenadas do ponto
são:
Passo 5
Para determinar a distância do receptor até a borda superior da antena, precisamos encontrar a altura da borda.
A borda superior da antena corresponde aos pontos onde
. Vamos calcular a coordenada
nesses pontos:
Agora, a distância entre o receptor (
) e a borda superior é a diferença entre as coordenadas
desses pontos:
Podemos arredondar para duas casas decimais:
Resposta
a) As coordenadas do ponto
são
.
b) A distância do receptor até a borda superior da antena é de aproximadamente
metros.
Exercícios relacionados
O centro de massa de uma lâmina metálica
descrita matematicamente no plano cartesiano como
, com função densidade
é dada por:
.
Descreva o domínio e imagem de cada função:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
3
Resolver a equacão diferencial homogênea:
Resolver a equacão diferencial homogênea:
Resolver a seguinte equacão diferencial exata: