Uma antena parabólica de televisão foi construida girando a parábola de equação com em torno do seu eixo de simetria. Nestas condições:
a) Dê as coordenadas do ponto F onde deve ser instalado o receptor da antena.
b) Determine a distância do receptor até a borda superior da antena, considerando que a unidade de medida é dada em metros.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Você tem uma antena parabólica construída girando a parábola no intervalo de ao redor do seu eixo de simetria. Precisamos descobrir:
a) As coordenadas do ponto onde o receptor deve ser instalado.
b) A distância do receptor até a borda superior da antena, em metros.
Para isso, vamos usar conceitos de geometria das parábolas, especialmente sobre o foco e as propriedades da parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma parábola com eixo de simetria no eixo é:
Aqui, representa a distância focal, que é a distância do vértice da parábola até o foco .

Passo 3

Agora, vamos comparar a equação dada no problema com a equação geral da parábola:
Observando os coeficientes de , temos:
Para encontrar , resolvemos a equação:

Passo 4

Sabendo que o foco está localizado a uma distância do vértice ao longo do eixo de simetria, as coordenadas do ponto são:

Passo 5

Para determinar a distância do receptor até a borda superior da antena, precisamos encontrar a altura da borda.
A borda superior da antena corresponde aos pontos onde . Vamos calcular a coordenada nesses pontos:
Agora, a distância entre o receptor ( ) e a borda superior é a diferença entre as coordenadas desses pontos:
â
â
â
Podemos arredondar para duas casas decimais:
â

Resposta

a) As coordenadas do ponto são .
b) A distância do receptor até a borda superior da antena é de aproximadamente metros.

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O centro de massa de uma lâmina metálica descrita matematicamente no plano cartesiano como , com função densidade é dada por:

.


Descreva o domínio e imagem de cada função:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
3
Resolver a equacão diferencial homogênea:
Resolver a seguinte equacão diferencial exata: