O centro de massa de uma lâmina metálica descrita matematicamente no plano cartesiano como , com função densidade é dada por: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado da questão nos pede para encontrar o centro de massa de uma lâmina metálica descrita por uma região no plano cartesiano. A região é definida por e , ou seja, é uma parte do círculo de raio 1 no primeiro quadrante onde é maior ou igual a . Além disso, a densidade da lâmina é dada por . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integrais duplas para encontrar o centro de massa de uma região com densidade variável.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o centro de massa de uma região com densidade variável é dado pelas fórmulas:
Aqui, representa um elemento de área na região .
Passo 3
Vamos começar calculando a integral do denominador, que é a massa total da lâmina:
Para simplificar a integral, vamos usar coordenadas polares, já que a região é parte de um círculo. Em coordenadas polares, temos e , e o elemento de área .
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração. A região está no primeiro quadrante () e com variando de 0 a 1 (raio do círculo). Portanto, as integrais ficam:
Passo 5
Vamos resolver a integral em primeiro:
Agora, substituímos de volta:
Passo 6
A integral pode ser resolvida usando a substituição , então :
Avaliando de 0 a :
Portanto,
Passo 7
Agora vamos calcular para encontrar :
Usando coordenadas polares novamente:
Passo 8
Resolvendo a integral em :
Substituindo de volta:
Passo 9
Fazendo a substituição , então . Os limites ficam de a :
Calculando:
Passo 10
Agora, calculando :
Passo 11
De maneira semelhante, como a configuração da lâmina e a função densidade são simétricas em e , o centro de massa terá o mesmo valor que .