O centro de massa de uma lâmina metálica L descrita matematicamente no plano cartesiano como L = {(x, y) ∈ R² | x² + y² <= 1 ; y >= x >= 0}, com função densidade gamma(x, y) = xy/2 é dada por:
(raiz(3)^(1/4) / 15, raiz(3)^(1/4) / 15)
(raiz(1)/15, raiz(2)/15).
(2/5, 2/5)
(raiz(2) / 15, raiz(2) / 15)
(2^(7/2)/30, (2^5 - 2^(7/2))/30)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão nos pede para encontrar o centro de massa de uma lâmina metálica descrita por uma região no plano cartesiano. A região é definida por e , ou seja, é uma parte do círculo de raio 1 no primeiro quadrante onde é maior ou igual a . Além disso, a densidade da lâmina é dada por . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integrais duplas para encontrar o centro de massa de uma região com densidade variável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o centro de massa de uma região com densidade variável é dado pelas fórmulas:
Aqui, representa um elemento de área na região .

Passo 3

Vamos começar calculando a integral do denominador, que é a massa total da lâmina:
Para simplificar a integral, vamos usar coordenadas polares, já que a região é parte de um círculo. Em coordenadas polares, temos e , e o elemento de área .

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração. A região está no primeiro quadrante ( ) e com variando de 0 a 1 (raio do círculo). Portanto, as integrais ficam:

Passo 5

Vamos resolver a integral em primeiro:
Agora, substituímos de volta:

Passo 6

A integral pode ser resolvida usando a substituição , então :
Avaliando de 0 a :
Portanto,

Passo 7

Agora vamos calcular para encontrar :
Usando coordenadas polares novamente:

Passo 8

Resolvendo a integral em :
Substituindo de volta:

Passo 9

Fazendo a substituição , então . Os limites ficam de a :
Calculando:

Passo 10

Agora, calculando :

Passo 11

De maneira semelhante, como a configuração da lâmina e a função densidade são simétricas em e , o centro de massa terá o mesmo valor que .

Resposta

O centro de massa é .

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