O centro de massa de uma lâmina metálica descrita matematicamente no plano cartesiano como , com função densidade é dada por:

.


Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão nos pede para encontrar o centro de massa de uma lâmina metálica descrita por uma região no plano cartesiano. A região é definida por e , ou seja, é uma parte do círculo de raio 1 no primeiro quadrante onde é maior ou igual a . Além disso, a densidade da lâmina é dada por . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integrais duplas para encontrar o centro de massa de uma região com densidade variável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o centro de massa de uma região com densidade variável é dado pelas fórmulas:
Aqui, representa um elemento de área na região .

Passo 3

Vamos começar calculando a integral do denominador, que é a massa total da lâmina:
Para simplificar a integral, vamos usar coordenadas polares, já que a região é parte de um círculo. Em coordenadas polares, temos e , e o elemento de área .

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração. A região está no primeiro quadrante ( ) e com variando de 0 a 1 (raio do círculo). Portanto, as integrais ficam:

Passo 5

Vamos resolver a integral em primeiro:
Agora, substituímos de volta:

Passo 6

A integral pode ser resolvida usando a substituição , então :
Avaliando de 0 a :
Portanto,

Passo 7

Agora vamos calcular para encontrar :
Usando coordenadas polares novamente:

Passo 8

Resolvendo a integral em :
Substituindo de volta:

Passo 9

Fazendo a substituição , então . Os limites ficam de a :
Calculando:

Passo 10

Agora, calculando :

Passo 11

De maneira semelhante, como a configuração da lâmina e a função densidade são simétricas em e , o centro de massa terá o mesmo valor que .

Resposta

O centro de massa é .

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Descreva o domínio e imagem de cada função:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Para cada função, quando necessário, use o conceito de limite para esboçar o gráfico de f. Registre os interceptos OX e OY, as assintotas horizontal e vertical (caso existam), e discuta a continuidade.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Uma antena parabólica de televisão foi construida girando a parábola de equação com em torno do seu eixo de simetria. Nestas condições:
a) Dê as coordenadas do ponto F onde deve ser instalado o receptor da antena.
b) Determine a distância do receptor até a borda superior da antena, considerando que a unidade de medida é dada em metros.
3
Resolver a equacão diferencial homogênea: