Resolver a seguinte equacão diferencial exata:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial exata que é:
Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial exata. Basicamente, uma equação desse tipo pode ser escrita na forma:
onde e são funções de e . Para resolver, precisamos encontrar uma função tal que:
Se conseguirmos isso, a solução da equação diferencial será , onde é uma constante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar e na nossa equação:
Agora, precisamos verificar se essa equação é realmente exata. Para isso, verificamos se:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é exata. Agora podemos seguir para encontrar a função .

Passo 3

Para encontrar , vamos integrar em relação a :
Tratando como uma constante durante a integração:
Aqui, é uma função que depende apenas de e que surge da integração.

Passo 4

Agora, vamos encontrar usando a informação de que .
Derivando em relação a :
Para que isso seja igual a , temos que:
Integrando em relação a :
onde é uma constante.

Passo 5

Agora que temos tudo, a função fica:
A solução geral da equação diferencial é quando é constante:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante.

Exercícios relacionados

3
Resolver a equacão diferencial homogênea:
Uma antena parabólica de televisão foi construida girando a parábola de equação com em torno do seu eixo de simetria. Nestas condições:
a) Dê as coordenadas do ponto F onde deve ser instalado o receptor da antena.
b) Determine a distância do receptor até a borda superior da antena, considerando que a unidade de medida é dada em metros.
Obtenha as equações reduzidas e identifique cada uma das cônicas
a)
b)
c)
d)
Prove por indução finita: .