Resolver a seguinte equacão diferencial exata:
2xy dx + x^2 dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial exata que é:
Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial exata. Basicamente, uma equação desse tipo pode ser escrita na forma:
onde e são funções de e . Para resolver, precisamos encontrar uma função tal que:
Se conseguirmos isso, a solução da equação diferencial será , onde é uma constante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar e na nossa equação:
Agora, precisamos verificar se essa equação é realmente exata. Para isso, verificamos se:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é exata. Agora podemos seguir para encontrar a função .

Passo 3

Para encontrar , vamos integrar em relação a :
Tratando como uma constante durante a integração:
Aqui, é uma função que depende apenas de e que surge da integração.

Passo 4

Agora, vamos encontrar usando a informação de que .
Derivando em relação a :
Para que isso seja igual a , temos que:
Integrando em relação a :
onde é uma constante.

Passo 5

Agora que temos tudo, a função fica:
A solução geral da equação diferencial é quando é constante:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante.

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