Resolver a seguinte equacão diferencial exata:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial exata que é:
Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial exata. Basicamente, uma equação desse tipo pode ser escrita na forma:
onde
e
são funções de
e
. Para resolver, precisamos encontrar uma função
tal que:
Se conseguirmos isso, a solução da equação diferencial será
, onde
é uma constante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar
e
na nossa equação:
Agora, precisamos verificar se essa equação é realmente exata. Para isso, verificamos se:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata. Agora podemos seguir para encontrar a função
.
Passo 3
Para encontrar
, vamos integrar
em relação a
:
Tratando
como uma constante durante a integração:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
e que surge da integração.
Passo 4
Agora, vamos encontrar
usando a informação de que
.
Derivando
em relação a
:
Para que isso seja igual a
, temos que:
Integrando em relação a
:
onde
é uma constante.
Passo 5
Agora que temos tudo, a função
fica:
A solução geral da equação diferencial é quando
é constante:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante.
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3
Resolver a equacão diferencial homogênea:
Resolver a equacão diferencial homogênea:
Uma antena parabólica de televisão foi construida girando a parábola de equação
com
em torno do seu eixo de simetria. Nestas condições:
a) Dê as coordenadas do ponto F onde deve ser instalado o receptor da antena.
b) Determine a distância do receptor até a borda superior da antena, considerando que a unidade de medida é dada em metros.
a) Dê as coordenadas do ponto F onde deve ser instalado o receptor da antena.
b) Determine a distância do receptor até a borda superior da antena, considerando que a unidade de medida é dada em metros.
Obtenha as equações reduzidas e identifique cada uma das cônicas
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Prove por indução finita:
.