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Resolver a equacão diferencial homogênea:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Estamos lidando com uma equação diferencial homogênea, o que significa que podemos simplificar a equação usando uma substituição adequada. Para isso, vamos precisar usar a técnica de substituição .

Passo 2

Primeiro, fazemos a substituição . Isso ajuda a transformar a equação original em uma que depende apenas de e , facilitando a resolução.

Passo 3

Agora, vamos diferenciar em relação a para encontrar :
Isso é importante porque vamos substituir na equação original.

Passo 4

Substituímos e na equação original:
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 5

Simplificando as expressões:
Factorizamos dos termos:

Passo 6

Distribuímos os termos:
Agrupamos os termos com e :

Passo 7

Podemos dividir toda a equação por para simplificar:
Isso nos leva a uma equação separável em termos de e .

Passo 8

Integrando ambos os lados:
Resolvendo as integrais:
Substituindo :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Uma antena parabólica de televisão foi construida girando a parábola de equação com em torno do seu eixo de simetria. Nestas condições:
a) Dê as coordenadas do ponto F onde deve ser instalado o receptor da antena.
b) Determine a distância do receptor até a borda superior da antena, considerando que a unidade de medida é dada em metros.
O centro de massa de uma lâmina metálica descrita matematicamente no plano cartesiano como , com função densidade é dada por:

.


Resolver a seguinte equacão diferencial exata:
Obtenha as equações reduzidas e identifique cada uma das cônicas
a)
b)
c)
d)