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Resolver a equacão diferencial homogênea:
(x^2 + y^2) dx + (2x + y) y dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Estamos lidando com uma equação diferencial homogênea, o que significa que podemos simplificar a equação usando uma substituição adequada. Para isso, vamos precisar usar a técnica de substituição .

Passo 2

Primeiro, fazemos a substituição . Isso ajuda a transformar a equação original em uma que depende apenas de e , facilitando a resolução.

Passo 3

Agora, vamos diferenciar em relação a para encontrar :
Isso é importante porque vamos substituir na equação original.

Passo 4

Substituímos e na equação original:
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 5

Simplificando as expressões:
Factorizamos dos termos:

Passo 6

Distribuímos os termos:
Agrupamos os termos com e :

Passo 7

Podemos dividir toda a equação por para simplificar:
Isso nos leva a uma equação separável em termos de e .

Passo 8

Integrando ambos os lados:
Resolvendo as integrais:
Substituindo :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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