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Resolver a equacão diferencial homogênea:
Resolver a equacão diferencial homogênea:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Estamos lidando com uma equação diferencial homogênea, o que significa que podemos simplificar a equação usando uma substituição adequada. Para isso, vamos precisar usar a técnica de substituição
.
Passo 2
Primeiro, fazemos a substituição
. Isso ajuda a transformar a equação original em uma que depende apenas de
e
, facilitando a resolução.
Passo 3
Agora, vamos diferenciar
em relação a
para encontrar
:
Isso é importante porque vamos substituir
na equação original.
Passo 4
Substituímos
e
na equação original:
Vamos simplificar isso passo a passo.
Passo 5
Simplificando as expressões:
Factorizamos
dos termos:
Passo 6
Distribuímos os termos:
Agrupamos os termos com
e
:
Passo 7
Podemos dividir toda a equação por
para simplificar:
Isso nos leva a uma equação separável em termos de
e
.
Passo 8
Integrando ambos os lados:
Resolvendo as integrais:
Substituindo
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Uma antena parabólica de televisão foi construida girando a parábola de equação
com
em torno do seu eixo de simetria. Nestas condições:
a) Dê as coordenadas do ponto F onde deve ser instalado o receptor da antena.
b) Determine a distância do receptor até a borda superior da antena, considerando que a unidade de medida é dada em metros.
a) Dê as coordenadas do ponto F onde deve ser instalado o receptor da antena.
b) Determine a distância do receptor até a borda superior da antena, considerando que a unidade de medida é dada em metros.
O centro de massa de uma lâmina metálica
descrita matematicamente no plano cartesiano como
, com função densidade
é dada por:
.
Resolver a seguinte equacão diferencial exata:
Obtenha as equações reduzidas e identifique cada uma das cônicas
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)