Descreva o domínio e imagem de cada função:
a) f(x) = log_a |x|
b) f(x) = -1 + raiz(x + 1)
c) f(x) = 4 - 3 * sen(2x - pi/2)
d) f(x) = ||x - 1| - 1| + 1
e) f(x) = 1 + raiz(1 - x^2)
f) f(x) = 4 - 2[3 sen(2 x - pi)]
g) f(x) = raiz((1 - x^2) / (x^2 - 4x + 3))

Passo 1

Vamos começar analisando a função . Aqui, estamos lidando com logaritmos e valores absolutos. Precisamos determinar para quais valores de a função está definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem).

Passo 2

Primeiro, lembrando que o logaritmo está definido apenas para . No nosso caso, , que sempre é positivo, exceto quando .

Passo 3

Além disso, a base do logaritmo deve ser positiva e diferente de 1, ou seja, e .

Passo 4

Como para todo , o domínio da função é todos os números reais exceto .

Passo 5

Para encontrar a imagem, sabemos que o logaritmo pode assumir todos os valores reais, desde que o argumento seja positivo. Portanto, a imagem é todo o conjunto dos números reais.

Passo 6

Agora, vamos analisar a função . Aqui, temos uma raiz quadrada e operações básicas. Vamos determinar o domínio e a imagem dessa função.

Passo 7

Sabemos que a expressão dentro da raiz quadrada deve ser não negativa para que a função esteja definida. Portanto, .

Passo 8

Resolvendo a desigualdade: implica .

Passo 9

Então, o domínio da função é .

Passo 10

Para encontrar a imagem, observamos que sempre será maior ou igual a 0. Subtraindo 1, teremos .

Passo 11

Vamos considerar a função . Nesta função, temos uma função trigonométrica seno com multiplicadores e deslocamentos. Vamos encontrar o domínio e a imagem.

Passo 12

A função seno está definida para todos os números reais, então não há restrições para . Portanto, o domínio é todo .

Passo 13

Para a imagem, sabemos que varia entre -1 e 1. Multiplicando por -3, temos que varia entre -3 e 3.

Passo 14

Somando 4 a esse intervalo, obtemos que varia entre e .

Passo 15

Analisaremos a função . Aqui, temos valores absolutos aninhados. Vamos determinar o domínio e a imagem dessa função.

Passo 16

Os valores absolutos estão sempre definidos para todos os números reais, já que para todo .

Passo 17

Portanto, o domínio da função é todo o conjunto dos números reais.

Passo 18

Para encontrar a imagem, observe que sempre é não negativo, então pode variar de a infinitamente positivo.

Passo 19

Aplicando o segundo valor absoluto, será sempre maior ou igual a 0. Somando 1, a imagem será .

Passo 20

Vamos examinar a função . Aqui, temos uma raiz quadrada com uma expressão quadrática. Nosso objetivo é encontrar o domínio e a imagem.

Passo 21

A expressão dentro da raiz quadrada deve ser não negativa: .

Passo 22

Resolvendo a desigualdade: implica , ou seja, .

Passo 23

Portanto, o domínio da função é .

Passo 24

Para encontrar a imagem, note que varia de 0 a 1, adicionando 1, teremos variando de 1 a 2.

Passo 25

Agora, vamos analisar a função . Aqui, temos uma função seno com multiplicadores e deslocamentos. Vamos determinar o domínio e a imagem dessa função.

Passo 26

A função seno está definida para todos os números reais, então não há restrições para . Portanto, o domínio é todo .

Passo 27

Para a imagem, sabemos que varia entre -1 e 1. Multiplicando por 3, temos variando entre -3 e 3.

Passo 28

Multiplicando por -2: varia entre 6 e -6.

Passo 29

Somando 4 a esse intervalo, obtemos que varia entre e .

Passo 30

Por fim, vamos considerar a função . Aqui, temos uma raiz quadrada com uma fração envolvendo polinômios. Nosso objetivo é encontrar o domínio e a imagem dessa função.

Passo 31

Primeiro, para que a raiz quadrada esteja definida, a fração dentro dela deve ser não negativa: .

Passo 32

Além disso, o denominador não pode ser zero: .

Passo 33

Resolvendo , encontramos as raízes e . Portanto, e .

Passo 34

Agora, analisamos os sinais da fração. O numerador . Então, os pontos críticos são .

Passo 35

Dividindo a linha dos números em intervalos e verificando o sinal da fração em cada intervalo:
  • Para : negativa
  • Entre e : positiva
  • Entre e : negativa
  • Para : positiva

Passo 36

Como queremos que a fração seja maior ou igual a zero, os intervalos viáveis são e .

Resposta

Domínio: ou
Imagem:

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