Descreva o domínio e imagem de cada função:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Passo 1
Vamos começar analisando a função . Aqui, estamos lidando com logaritmos e valores absolutos. Precisamos determinar para quais valores de a função está definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem).
Passo 2
Primeiro, lembrando que o logaritmo está definido apenas para . No nosso caso, , que sempre é positivo, exceto quando .
Passo 3
Além disso, a base do logaritmo deve ser positiva e diferente de 1, ou seja, e .
Passo 4
Como para todo , o domínio da função é todos os números reais exceto .
Passo 5
Para encontrar a imagem, sabemos que o logaritmo pode assumir todos os valores reais, desde que o argumento seja positivo. Portanto, a imagem é todo o conjunto dos números reais.
Passo 6
Agora, vamos analisar a função . Aqui, temos uma raiz quadrada e operações básicas. Vamos determinar o domínio e a imagem dessa função.
Passo 7
Sabemos que a expressão dentro da raiz quadrada deve ser não negativa para que a função esteja definida. Portanto, .
Passo 8
Resolvendo a desigualdade: implica .
Passo 9
Então, o domínio da função é .
Passo 10
Para encontrar a imagem, observamos que sempre será maior ou igual a 0. Subtraindo 1, teremos .
Passo 11
Vamos considerar a função . Nesta função, temos uma função trigonométrica seno com multiplicadores e deslocamentos. Vamos encontrar o domínio e a imagem.
Passo 12
A função seno está definida para todos os números reais, então não há restrições para . Portanto, o domínio é todo .
Passo 13
Para a imagem, sabemos que varia entre -1 e 1. Multiplicando por -3, temos que varia entre -3 e 3.
Passo 14
Somando 4 a esse intervalo, obtemos que varia entre e .
Passo 15
Analisaremos a função . Aqui, temos valores absolutos aninhados. Vamos determinar o domínio e a imagem dessa função.
Passo 16
Os valores absolutos estão sempre definidos para todos os números reais, já que para todo .
Passo 17
Portanto, o domínio da função é todo o conjunto dos números reais.
Passo 18
Para encontrar a imagem, observe que sempre é não negativo, então pode variar de a infinitamente positivo.
Passo 19
Aplicando o segundo valor absoluto, será sempre maior ou igual a 0. Somando 1, a imagem será .
Passo 20
Vamos examinar a função . Aqui, temos uma raiz quadrada com uma expressão quadrática. Nosso objetivo é encontrar o domínio e a imagem.
Passo 21
A expressão dentro da raiz quadrada deve ser não negativa: .
Passo 22
Resolvendo a desigualdade: implica , ou seja, .
Passo 23
Portanto, o domínio da função é .
Passo 24
Para encontrar a imagem, note que varia de 0 a 1, adicionando 1, teremos variando de 1 a 2.
Passo 25
Agora, vamos analisar a função . Aqui, temos uma função seno com multiplicadores e deslocamentos. Vamos determinar o domínio e a imagem dessa função.
Passo 26
A função seno está definida para todos os números reais, então não há restrições para . Portanto, o domínio é todo .
Passo 27
Para a imagem, sabemos que varia entre -1 e 1. Multiplicando por 3, temos variando entre -3 e 3.
Passo 28
Multiplicando por -2: varia entre 6 e -6.
Passo 29
Somando 4 a esse intervalo, obtemos que varia entre e .
Passo 30
Por fim, vamos considerar a função . Aqui, temos uma raiz quadrada com uma fração envolvendo polinômios. Nosso objetivo é encontrar o domínio e a imagem dessa função.
Passo 31
Primeiro, para que a raiz quadrada esteja definida, a fração dentro dela deve ser não negativa: .
Passo 32
Além disso, o denominador não pode ser zero: .
Passo 33
Resolvendo , encontramos as raízes e . Portanto, e .
Passo 34
Agora, analisamos os sinais da fração. O numerador . Então, os pontos críticos são .
Passo 35
Dividindo a linha dos números em intervalos e verificando o sinal da fração em cada intervalo:
Para : negativa
Entre e : positiva
Entre e : negativa
Para : positiva
Passo 36
Como queremos que a fração seja maior ou igual a zero, os intervalos viáveis são e .