Descreva o domínio e imagem de cada função:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Passo 1
Vamos começar analisando a função
. Aqui, estamos lidando com logaritmos e valores absolutos. Precisamos determinar para quais valores de
a função está definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem).
Passo 2
Primeiro, lembrando que o logaritmo
está definido apenas para
. No nosso caso,
, que sempre é positivo, exceto quando
.
Passo 3
Além disso, a base
do logaritmo deve ser positiva e diferente de 1, ou seja,
e
.
Passo 4
Como
para todo
, o domínio da função é todos os números reais exceto
.
Passo 5
Para encontrar a imagem, sabemos que o logaritmo pode assumir todos os valores reais, desde que o argumento seja positivo. Portanto, a imagem é todo o conjunto dos números reais.
Passo 6
Agora, vamos analisar a função
. Aqui, temos uma raiz quadrada e operações básicas. Vamos determinar o domínio e a imagem dessa função.
Passo 7
Sabemos que a expressão dentro da raiz quadrada deve ser não negativa para que a função esteja definida. Portanto,
.
Passo 8
Resolvendo a desigualdade:
implica
.
Passo 9
Então, o domínio da função é
.
Passo 10
Para encontrar a imagem, observamos que
sempre será maior ou igual a 0. Subtraindo 1, teremos
.
Passo 11
Vamos considerar a função
. Nesta função, temos uma função trigonométrica seno com multiplicadores e deslocamentos. Vamos encontrar o domínio e a imagem.
Passo 12
A função seno está definida para todos os números reais, então não há restrições para
. Portanto, o domínio é todo
.
Passo 13
Para a imagem, sabemos que
varia entre -1 e 1. Multiplicando por -3, temos que
varia entre -3 e 3.
Passo 14
Somando 4 a esse intervalo, obtemos que
varia entre
e
.
Passo 15
Analisaremos a função
. Aqui, temos valores absolutos aninhados. Vamos determinar o domínio e a imagem dessa função.
Passo 16
Os valores absolutos estão sempre definidos para todos os números reais, já que
para todo
.
Passo 17
Portanto, o domínio da função é todo o conjunto dos números reais.
Passo 18
Para encontrar a imagem, observe que
sempre é não negativo, então
pode variar de
a infinitamente positivo.
Passo 19
Aplicando o segundo valor absoluto,
será sempre maior ou igual a 0. Somando 1, a imagem será
.
Passo 20
Vamos examinar a função
. Aqui, temos uma raiz quadrada com uma expressão quadrática. Nosso objetivo é encontrar o domínio e a imagem.
Passo 21
A expressão dentro da raiz quadrada deve ser não negativa:
.
Passo 22
Resolvendo a desigualdade:
implica
, ou seja,
.
Passo 23
Portanto, o domínio da função é
.
Passo 24
Para encontrar a imagem, note que
varia de 0 a 1, adicionando 1, teremos
variando de 1 a 2.
Passo 25
Agora, vamos analisar a função . Aqui, temos uma função seno com multiplicadores e deslocamentos. Vamos determinar o domínio e a imagem dessa função.
Passo 26
A função seno está definida para todos os números reais, então não há restrições para
. Portanto, o domínio é todo
.
Passo 27
Para a imagem, sabemos que varia entre -1 e 1. Multiplicando por 3, temos variando entre -3 e 3.
Passo 28
Multiplicando por -2: varia entre 6 e -6.
Passo 29
Somando 4 a esse intervalo, obtemos que
varia entre
e
.
Passo 30
Por fim, vamos considerar a função
. Aqui, temos uma raiz quadrada com uma fração envolvendo polinômios. Nosso objetivo é encontrar o domínio e a imagem dessa função.
Passo 31
Primeiro, para que a raiz quadrada esteja definida, a fração dentro dela deve ser não negativa:
.
Passo 32
Além disso, o denominador não pode ser zero:
.
Passo 33
Resolvendo
, encontramos as raízes
e
. Portanto,
e
.
Passo 34
Agora, analisamos os sinais da fração. O numerador
. Então, os pontos críticos são
.
Passo 35
Dividindo a linha dos números em intervalos e verificando o sinal da fração em cada intervalo:
- Para
: negativa - Entre
e : positiva - Entre
e : negativa - Para
: positiva
Passo 36
Como queremos que a fração seja maior ou igual a zero, os intervalos viáveis são
e
.
Resposta
Domínio:
ou
Imagem: