Antes de uma eleição, um partido está interessado em estimar a proporção p de eleitores favoráveis ao seu candidato. Uma amostra piloto de tamanho 50 revelou que
dos eleitores eram favoráveis ao candidato em questão.
a) Determine o tamanho da amostra para que o erro cometido na estimação seja de, no máximo, 0,01 com probabilidade de
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a) Determine o tamanho da amostra para que o erro cometido na estimação seja de, no máximo, 0,01 com probabilidade de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer descobrir quantos eleitores a gente precisa pesquisar para ter certeza que a nossa estimativa sobre a proporção de favoráveis ao candidato está bem precisa. A matéria que vamos usar aqui é Estatística, mais especificamente Estimativa de Proporção. Para isso, vamos precisar entender sobre margem de erro e nível de confiança.
Passo 2
Primeiro, a gente tem que lembrar qual é a fórmula para calcular o tamanho da amostra quando queremos estimar uma proporção com uma certa margem de erro e nível de confiança. A fórmula é:
Onde:
-
é o tamanho da amostra que queremos encontrar. -
é o valor z correspondente ao nível de confiança desejado. -
é a proporção estimada dos favoráveis (no caso, 70% ou 0,7). -
é a margem de erro que a gente quer, que aqui é 0,01.
Passo 3
Vamos identificar todos os valores que temos:
- A margem de erro
é 0,01. - O nível de confiança é 90%, então precisamos encontrar o valor z que corresponde a esse nível. Para 90% de confiança, o valor z é aproximadamente 1,645.
- A proporção estimada
é 0,7.
Passo 4
Agora, vamos substituir esses valores na fórmula:
Passo 5
Vamos calcular passo a passo:
- Calcula
: - Calcula
: - Multiplica os dois resultados:
- Divide pelo quadrado da margem de erro:
Resposta
Então, o tamanho da amostra necessário é de aproximadamente 5683 eleitores.