Antes de uma eleição, um partido está interessado em estimar a proporção p de eleitores favoráveis ao seu candidato. Uma amostra piloto de tamanho 50 revelou que 70% dos eleitores eram favoráveis ao candidato em questão.
a) Determine o tamanho da amostra para que o erro cometido na estimação seja de, no máximo, 0,01 com probabilidade de 90 %.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer descobrir quantos eleitores a gente precisa pesquisar para ter certeza que a nossa estimativa sobre a proporção de favoráveis ao candidato está bem precisa. A matéria que vamos usar aqui é Estatística, mais especificamente Estimativa de Proporção. Para isso, vamos precisar entender sobre margem de erro e nível de confiança.

Passo 2

Primeiro, a gente tem que lembrar qual é a fórmula para calcular o tamanho da amostra quando queremos estimar uma proporção com uma certa margem de erro e nível de confiança. A fórmula é:
Onde:
  • é o tamanho da amostra que queremos encontrar.
  • é o valor z correspondente ao nível de confiança desejado.
  • é a proporção estimada dos favoráveis (no caso, 70% ou 0,7).
  • é a margem de erro que a gente quer, que aqui é 0,01.

Passo 3

Vamos identificar todos os valores que temos:
  • A margem de erro é 0,01.
  • O nível de confiança é 90%, então precisamos encontrar o valor z que corresponde a esse nível. Para 90% de confiança, o valor z é aproximadamente 1,645.
  • A proporção estimada é 0,7.

Passo 4

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula:

Passo 5

Vamos calcular passo a passo:
  1. Calcula :
  2. Calcula :
  3. Multiplica os dois resultados:
  4. Divide pelo quadrado da margem de erro:

Resposta

Então, o tamanho da amostra necessário é de aproximadamente 5683 eleitores.

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