Uma empresa emprega 200 pessoas. Numa amostra aleatória de 25 notas de despesas numa semana de dezembro, um auditor constatou uma despesa média de 220 u.m. com desvio padrão de 20 u.m.
b) Qual é a estimativa intervalar com a mesma confiança para a despesa total da empresa com seus 200 empregados?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala que uma empresa tem 200 funcionários e, numa amostragem aleatória de 25 notas de despesas numa semana de dezembro, o auditor encontrou uma despesa média de 220 u.m. com um desvio padrão de 20 u.m. O que queremos aqui é descobrir qual seria o intervalo estimado, com a mesma confiança usada na amostra, para a despesa total da empresa com esses 200 empregados. Para isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados à estimativa intervalar e distribuição amostral da média.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é uma estimativa intervalar. Basicamente, é um intervalo de valores que, com uma certa confiança, contém o verdadeiro valor da população que estamos tentando estimar. No nosso caso, queremos estimar a despesa total da empresa.

Passo 3

Vamos começar calculando o intervalo de confiança para a média das despesas. Para isso, usamos a fórmula do intervalo de confiança para a média quando a amostra é pequena (n < 30) e desconhecemos a variância da população, ou seja, usamos a distribuição t de Student.
A fórmula é:
Onde:
  • é a média amostral (220 u.m.)
  • é o desvio padrão amostral (20 u.m.)
  • é o tamanho da amostra (25)
  • é o valor crítico da distribuição t para o nível de confiança desejado

Passo 4

Vamos supor que o nível de confiança usado seja 95%. Com 24 graus de liberdade (n-1), o valor de é aproximadamente 2,064 (você pode conferir numa tabela de t). Agora, substituindo na fórmula:
Então, o intervalo de confiança para a média é:

Passo 5

Agora que temos o intervalo de confiança para a média das despesas, vamos calcular o intervalo para a despesa total da empresa. Como são 200 funcionários, multiplicamos os limites do intervalo de confiança pela quantidade total:
éú
Então:

Resposta

A estimativa intervalar, com a mesma confiança de 95%, para a despesa total da empresa com os 200 empregados é de 42.348,8 u.m. a 45.651,2 u.m.

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