Anti-derivar:
Passo 1
No enunciado, precisamos anti-derivar a expressão
. Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente a técnica de substituição, para resolver essa integral envolvendo funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplify a integral. Observamos que o numerador é
e o denominador é
. Isso sugere que podemos usar
como substituição, já que a derivada de
está relacionada ao numerador.
Passo 3
Vamos definir
. Agora, derivamos ambos os lados em relação a
:
Isso implica que:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original, temos:
Aqui, reescrevemos a integral em termos de
.
Passo 5
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Multiplicando pela constante fora da integral:
Passo 6
Finalmente, voltamos para a variável original
substituindo
:
Resposta
A anti-primitiva de
é:
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Determine se a série é convergente ou divergente.