Determine se a série é convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série é convergente ou divergente. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre séries infinitas e os testes de convergência, especificamente o teste da divergência. Para resolver, vamos precisar verificar o comportamento dos termos da série à medida que cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um dos testes mais básicos para verificar a convergência de uma série é o teste da divergência. Esse teste diz que se o limite do termo geral da série, quando tende ao infinito, não for zero, então a série diverge. Ou seja, se , a série não converge.

Passo 3

Agora, vamos aplicar esse teste na nossa série. O termo geral da série é . Primeiro, vamos calcular o limite de quando tende ao infinito.
Sabemos que é a função arco-tangente de . À medida que cresce, se aproxima de , porque a tangente de é indefinida (tende ao infinito). Portanto:

Passo 4

Com isso, podemos ver que:
Como tende a e oscila entre -1 e 1, o limite não existe ou não é zero. De qualquer forma, o valor absoluto do termo não tende a zero.

Passo 5

Aplicando o teste da divergência, já que o limite do termo geral não é zero, podemos concluir que a série não converge.

Resposta

A série diverge.

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