Determine se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série
é convergente ou divergente. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre séries infinitas e os testes de convergência, especificamente o teste da divergência. Para resolver, vamos precisar verificar o comportamento dos termos da série à medida que
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um dos testes mais básicos para verificar a convergência de uma série é o teste da divergência. Esse teste diz que se o limite do termo geral da série, quando
tende ao infinito, não for zero, então a série diverge. Ou seja, se
, a série não converge.
Passo 3
Agora, vamos aplicar esse teste na nossa série. O termo geral da série é
. Primeiro, vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito.
Sabemos que
é a função arco-tangente de
. À medida que
cresce,
se aproxima de
, porque a tangente de
é indefinida (tende ao infinito). Portanto:
Passo 4
Com isso, podemos ver que:
Como
tende a
e
oscila entre -1 e 1, o limite não existe ou não é zero. De qualquer forma, o valor absoluto do termo não tende a zero.
Passo 5
Aplicando o teste da divergência, já que o limite do termo geral não é zero, podemos concluir que a série não converge.
Resposta
A série
diverge.
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Determine se a série é convergente ou divergente.
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