Qual é a antiderivada mais geral de h(t)= 2t - et?
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos! A questão pede para encontrar a antiderivada mais geral da função $ h(t) = 2t - e^{t} $. Isso faz parte do estudo de cálculo integral, mais especificamente da integração indefinida. Para resolver, vamos precisar saber como integrar termos como $ 2t $ e $ e^{t} $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a antiderivada de uma função é simplesmente a operação inversa da derivada. Ou seja, estamos procurando uma função $ H(t) $ cuja derivada seja $ h(t) = 2t - e^{t} $.
Passo 3
Vamos separar a antiderivada em duas partes, correspondendo a cada termo da função:
Passo 4
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
Para o primeiro termo, $ \int 2t , dt $:
A regra básica de integração para $ t^n $ é $ \frac{t^{n+1}}{n+1} $. No nosso caso, $ n = 1 $:
Passo 5
Para o segundo termo, $ \int e^{t} , dt $:
Sabemos que a antiderivada de $ e^{t} $ é ele mesmo:
Passo 6
Juntando as duas integrais, temos:
Onde $ C $ é a constante de integração, que representa todas as possíveis antiderivadas.
Resposta
A antiderivada mais geral de $ h(t) = 2t - e^{t} $ é: