Qual é a antiderivada mais geral de h(t)= 2t - et?

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos! A questão pede para encontrar a antiderivada mais geral da função $ h(t) = 2t - e^{t} $. Isso faz parte do estudo de cálculo integral, mais especificamente da integração indefinida. Para resolver, vamos precisar saber como integrar termos como $ 2t $ e $ e^{t} $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a antiderivada de uma função é simplesmente a operação inversa da derivada. Ou seja, estamos procurando uma função $ H(t) $ cuja derivada seja $ h(t) = 2t - e^{t} $.

Passo 3

Vamos separar a antiderivada em duas partes, correspondendo a cada termo da função:
integral h(t) , dt = integral (2t) , dt - integral e^t , dt

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
Para o primeiro termo, $ \int 2t , dt $:
A regra básica de integração para $ t^n $ é $ \frac{t^{n+1}}{n+1} $. No nosso caso, $ n = 1 $:
integral 2t , dt

Passo 5

Para o segundo termo, $ \int e^{t} , dt $:
Sabemos que a antiderivada de $ e^{t} $ é ele mesmo:
integral e^t , dt

Passo 6

Juntando as duas integrais, temos:
H(t) = t^2 - e^t + C
Onde $ C $ é a constante de integração, que representa todas as possíveis antiderivadas.

Resposta

A antiderivada mais geral de $ h(t) = 2t - e^{t} $ é:
h(t) = 2t - e^t

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