Calcule a seguinte integral indefinida f(x^2+4)dx
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral indefinida de $ f(x^2 + 4) $ em relação a $ x $. Isso faz parte do cálculo integral, especificamente usando a técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar fazer uma mudança de variável que simplifique a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição que facilite a integração. Vamos definir:
Isso significa que estamos mudando a variável de $ x $ para $ u $, onde $ u $ é igual a $ x^2 + 4 $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de $ u $ em relação a $ x $ para relacionar $ du $ e $ dx $:
Isso nos ajuda a expressar $ dx $ em termos de $ du $ e $ x $.
Passo 4
Queremos substituir $ dx $ na integral original. Para isso, isolamos $ dx $ na equação acima:
Agora, já temos $ dx $ em termos de $ du $ e $ x $.
Passo 5
Vamos substituir $ u $ e $ dx $ na integral original:
Agora, a integral está em termos de $ u $ e $ du $, mas ainda temos um $ x $ na expressão.
Passo 6
Precisamos eliminar o $ x $ da integral para que tudo esteja em termos de $ u $. Sabemos que:
Substituímos $ x $ nessa expressão.
Passo 7
Agora, substituímos $ x $ na integral:
Isso deixa a integral completamente em termos de $ u $.
Passo 8
Finalmente, podemos simplificar a expressão:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Resposta
A integral indefinida é: