Calcule a seguinte integral indefinida f(x^2+4)dx

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral indefinida de $ f(x^2 + 4) $ em relação a $ x $. Isso faz parte do cálculo integral, especificamente usando a técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar fazer uma mudança de variável que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que facilite a integração. Vamos definir:
u = x^2 + 4
Isso significa que estamos mudando a variável de $ x $ para $ u $, onde $ u $ é igual a $ x^2 + 4 $.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de $ u $ em relação a $ x $ para relacionar $ du $ e $ dx $:
u
Isso nos ajuda a expressar $ dx $ em termos de $ du $ e $ x $.

Passo 4

Queremos substituir $ dx $ na integral original. Para isso, isolamos $ dx $ na equação acima:
dx
Agora, já temos $ dx $ em termos de $ du $ e $ x $.

Passo 5

Vamos substituir $ u $ e $ dx $ na integral original:
u
Agora, a integral está em termos de $ u $ e $ du $, mas ainda temos um $ x $ na expressão.

Passo 6

Precisamos eliminar o $ x $ da integral para que tudo esteja em termos de $ u $. Sabemos que:
x
Substituímos $ x $ nessa expressão.

Passo 7

Agora, substituímos $ x $ na integral:
x
Isso deixa a integral completamente em termos de $ u $.

Passo 8

Finalmente, podemos simplificar a expressão:
12 integral f(u)raizu - 4 , du + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Resposta

A integral indefinida é:
integral f(x^2 + 4) , dx = 12 integral f(u)raizu - 4 , du + C

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