Calcule a integral definida 4 a 1 de (x^2-4x-3)dx

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida de integral1^4 (x^2 - 4x - 3) , dx. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Integral, especificamente a integração de funções polinomiais. Para isso, precisamos saber como encontrar a antiderivada de cada termo da função e depois aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular o valor da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a antiderivada da função x^2 - 4x - 3. A antiderivada é uma função cuja derivada é a função original. Para polinômios, a regra é aumentar o expoente de cada termo em 1 e dividir pelo novo expoente.
  • A antiderivada de x^2 é x^33.
  • A antiderivada de -4x é -4 cdot x^22 = -2x^2.
  • A antiderivada de -3 é -3x.
Então, a antiderivada completa é:
F(x) = x^33 - 2x^2 - 3x

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que a integral definida de uma função de a a b é igual à diferença das antiderivadas avaliadas em b e em a. Ou seja:
integrala^b f(x) , dx = F(b) - F(a)
Onde F(x) é a antiderivada de f(x).

Passo 4

Vamos calcular F(4) e F(1):
Primeiro, F(4):
F(4) = 4^33 - 2(4)^2 - 3(4) = 643 - 2(16) - 12 = 643 - 32 - 12
Convertendo 32 e 12 para ter denominador 3:
32 = 963, 12 = 363
Então:
F(4) = 643 - 963 - 363 = 64 - 96 - 363 = -683
Agora, F(1):
F(1) = 1^33 - 2(1)^2 - 3(1) = 13 - 2 - 3 = 13 - 5
Convertendo 5 para ter denominador 3:
5 = 153
Então:
F(1) = 13 - 153 = -143

Passo 5

Agora, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
integral1^4 (x^2 - 4x - 3) , dx = F(4) - F(1) = -683 - ( -143 ) = -683 + 143 = -543 = -18

Resposta

O valor da integral definida é -18.

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