Um antigo (incorreto) modelo do átomo de hidrogênio, sugerido por J. J. Thompson, propunha que uma nuvem positiva de carga
era uniformemente distribuída no volume de uma esfera de raio
, com uma carga negativa puntiforme
no centro da esfera.
a) utilizando a lei de Gauss, mostre que o elétron estaria em equilíbrio no centro da esfera e, se fosse deslocado do centro a uma distância
, ficaria sujeito a uma força restauradora do tipo
, onde K é uma constante;
b) mostre que
;
c) ache uma expressão para a frequência
de oscilações harmônicas simples que um elétron de massa
executaria se fosse deslocado de uma pequena distância do centro da esfera e abandonado;
d) calcule o valor numérico de
que produziria numa frequência de vibração igual a
, que é a frequência da luz da linha mais intensa do espectro do átomo de hidrogênio.
a) utilizando a lei de Gauss, mostre que o elétron estaria em equilíbrio no centro da esfera e, se fosse deslocado do centro a uma distância
b) mostre que
c) ache uma expressão para a frequência
d) calcule o valor numérico de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o modelo antigo do átomo de hidrogênio proposto por J. J. Thompson. A gente vai usar a lei de Gauss e conceitos de física como força restauradora e oscilações harmônicas. Precisamos entender como as cargas estão distribuídas e como o elétron se comporta dentro dessa esfera carregada.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a Lei de Gauss para analisar o campo elétrico dentro da esfera. A Lei de Gauss nos ajuda a calcular o campo elétrico gerado por uma distribuição de carga simétrica. No caso, temos uma carga positiva +e distribuída uniformemente na esfera de raio R e uma carga negativa -e no centro.
Passo 3
Considerando que o elétron está no centro da esfera, a simetria nos diz que o campo elétrico gerado pela nuvem positiva cancela exatamente o campo do elétron central. Assim, a força elétrica sobre o elétron é zero, o que significa que ele está em equilíbrio no centro.
Passo 4
Agora, vamos supor que o elétron é deslocado uma distância r < R do centro. Precisamos encontrar a força restauradora que age sobre ele. Para isso, aplicamos novamente a Lei de Gauss, mas agora considerando uma superfície gaussiana esférica de raio r.
Passo 5
Dentro da esfera de Gauss de raio r, a carga positiva proporcional ao volume dentro de r é:
A carga negativa permanece sendo -e no centro. A força resultante sobre o elétron é a diferença entre essas cargas multiplicada pela constante eletrostática.
Passo 6
A força elétrica F é dada por:
Substituindo q_positivo:
Então, a força restauradora é proporcional a r, ou seja:
onde K = \frac{k e2}{R3}.
Passo 7
Isso mostra que o elétron, quando deslocado do centro, sente uma força que o puxa de volta, caracterizando um movimento harmônico simples. Assim, o elétron está em equilíbrio no centro e sujeito a uma força restauradora do tipo F = -K r.
Resposta
O elétron está em equilíbrio no centro da esfera e, se deslocado uma distância r < R, ele sofre uma força restauradora proporcional a -K r, onde K =
.