Um antigo (incorreto) modelo do átomo de hidrogênio, sugerido por J. J. Thompson, propunha que uma nuvem positiva de carga +e era uniformemente distribuída no volume de uma esfera de raio R, com uma carga negativa puntiforme -e no centro da esfera.
a) utilizando a lei de Gauss, mostre que o elétron estaria em equilíbrio no centro da esfera e, se fosse deslocado do centro a uma distância r, ficaria sujeito a uma força restauradora do tipo F=-K r, onde K é uma constante;
b) mostre que K=k e^2R^3;
c) ache uma expressão para a frequência f de oscilações harmônicas simples que um elétron de massa me executaria se fosse deslocado de uma pequena distância do centro da esfera e abandonado;
d) calcule o valor numérico de R que produziria numa frequência de vibração igual a 2,47 times 10^15 Hz, que é a frequência da luz da linha mais intensa do espectro do átomo de hidrogênio.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o modelo antigo do átomo de hidrogênio proposto por J. J. Thompson. A gente vai usar a lei de Gauss e conceitos de física como força restauradora e oscilações harmônicas. Precisamos entender como as cargas estão distribuídas e como o elétron se comporta dentro dessa esfera carregada.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a Lei de Gauss para analisar o campo elétrico dentro da esfera. A Lei de Gauss nos ajuda a calcular o campo elétrico gerado por uma distribuição de carga simétrica. No caso, temos uma carga positiva +e distribuída uniformemente na esfera de raio R e uma carga negativa -e no centro.

Passo 3

Considerando que o elétron está no centro da esfera, a simetria nos diz que o campo elétrico gerado pela nuvem positiva cancela exatamente o campo do elétron central. Assim, a força elétrica sobre o elétron é zero, o que significa que ele está em equilíbrio no centro.

Passo 4

Agora, vamos supor que o elétron é deslocado uma distância r < R do centro. Precisamos encontrar a força restauradora que age sobre ele. Para isso, aplicamos novamente a Lei de Gauss, mas agora considerando uma superfície gaussiana esférica de raio r.

Passo 5

Dentro da esfera de Gauss de raio r, a carga positiva proporcional ao volume dentro de r é:
qpositivo = +e ( r^3R^3 )
A carga negativa permanece sendo -e no centro. A força resultante sobre o elétron é a diferença entre essas cargas multiplicada pela constante eletrostática.

Passo 6

A força elétrica F é dada por:
F = k e cdot qpositivor^2
Substituindo q_positivo:
F = k e cdot ( e r^3R^3 )r^2 = k e^2R^3 r
Então, a força restauradora é proporcional a r, ou seja:
F = -K r
onde K = \frac{k e2}{R3}.

Passo 7

Isso mostra que o elétron, quando deslocado do centro, sente uma força que o puxa de volta, caracterizando um movimento harmônico simples. Assim, o elétron está em equilíbrio no centro e sujeito a uma força restauradora do tipo F = -K r.

Resposta

O elétron está em equilíbrio no centro da esfera e, se deslocado uma distância r < R, ele sofre uma força restauradora proporcional a -K r, onde K = .

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