Dados os respectivos vetores velocidade e aceleração instantâneas de uma partícula:
Determine: 9.e) As coordenadas do centro de curvatura em relação à posição atual da partícula
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que precisamos fazer aqui! Temos os vetores de velocidade e aceleração de uma partícula e precisamos encontrar as coordenadas do centro de curvatura em relação à posição atual da partícula. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente a fórmula do raio de curvatura e o vetor normal principal.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o raio de curvatura ( R = |v|^3|v times a| ). A fórmula para é:
Para usar essa fórmula, vamos calcular a magnitude do vetor velocidade e o produto vetorial .
Passo 3
Vamos calcular a magnitude do vetor velocidade |v| = raiz6^2 + (-3)^2 + 2^2 = raiz36 + 9 + 4 = raiz49 = 7 m/s :
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto vetorial v times a = imath & jmath & k 6 & -3 & 2 3 & -1 & 5 :
v times a = imath((-3)(5) - (2)(-1)) - jmath((6)(5) - (2)(3)) + k((6)(-1) - (-3)(3))
Com os valores calculados, podemos encontrar o raio de curvatura ( R = |v|^3|v times a| = 7^327.46 = 34327.46 approx 12.5 m ):
Passo 6
Agora, vamos encontrar o vetor normal principal ( N = a - ( a cdot v|v|^2 ) v|a - ( a cdot v|v|^2 ) v| ). A fórmula para a cdot v = (3)(6) + (-1)(-3) + (5)(2) = 18 + 3 + 10 = 31 é: