Dados os respectivos vetores velocidade e aceleração instantâneas de uma partícula:
v & =6 imath-3 jmath+2 k ms a & =3 imath-jmath+5 k ms^2
Determine: 9.e) As coordenadas do centro de curvatura em relação à posição atual da partícula

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que precisamos fazer aqui! Temos os vetores de velocidade e aceleração de uma partícula e precisamos encontrar as coordenadas do centro de curvatura em relação à posição atual da partícula. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente a fórmula do raio de curvatura e o vetor normal principal.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o raio de curvatura ( R = |v|^3|v times a| ). A fórmula para é:
Para usar essa fórmula, vamos calcular a magnitude do vetor velocidade e o produto vetorial .

Passo 3

Vamos calcular a magnitude do vetor velocidade |v| = raiz6^2 + (-3)^2 + 2^2 = raiz36 + 9 + 4 = raiz49 = 7 m/s :

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial v times a = imath & jmath & k 6 & -3 & 2 3 & -1 & 5 :
v times a = imath((-3)(5) - (2)(-1)) - jmath((6)(5) - (2)(3)) + k((6)(-1) - (-3)(3))
Calculando o determinante:
= imath(-15 + 2) - jmath(30 - 6) + k(-6 + 9)
= -13,imath - 24,jmath + 3,k
|v times a| = raiz(-13)^2 + (-24)^2 + 3^2 = raiz169 + 576 + 9 = raiz754 approx 27.46 m^2/s^3
Agora, calculamos a magnitude desse vetor:

Passo 5

Com os valores calculados, podemos encontrar o raio de curvatura ( R = |v|^3|v times a| = 7^327.46 = 34327.46 approx 12.5 m ):

Passo 6

Agora, vamos encontrar o vetor normal principal ( N = a - ( a cdot v|v|^2 ) v|a - ( a cdot v|v|^2 ) v| ). A fórmula para a cdot v = (3)(6) + (-1)(-3) + (5)(2) = 18 + 3 + 10 = 31 é:
N = 3,imath - jmath + 5,k - ( 3149 ) (6,imath - 3,jmath + 2,k)|a - ( 3149 ) v|
Primeiro, calculamos o produto escalar N = -3949,imath + 4449,jmath + 18349,k raiz(-3949)^2 + (4449)^2 + (18349)^2 approx -39,imath + 44,jmath + 183,k 192 :
Substituindo na expressão de :
Realizando as operações:

Passo 7

Finalmente, para encontrar as coordenadas do centro de curvatura ( C = R,N = 12.5 times N ) relativas à posição atual, usamos:
C approx 12.5 times ( -39,imath + 44,jmath + 183,k 192 )
Substituindo Cx = 12.5 times ( -39192 ) approx -2.54 m :
Cy = 12.5 times ( 44192 ) approx 2.86 m
Calculando cada componente:
Cz = 12.5 times ( 183192 ) approx 11.91 m

Resposta

As coordenadas do centro de curvatura em relação à posição atual da partícula são aproximadamente:
C approx (-2.54,imath, 2.86,jmath, 11.91,k) metros

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