Um campo elétrico não uniforme é dado pela expressão:
E=a y x+b z y+c x z
onde a, b e c são constantes. Determine o fluxo do campo elétrico através de uma superfície retangular contida no plano xy e com dois lados indo de x=0 até x=w e y=0 até y=h.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o problema está pedindo. A gente tem um campo elétrico que não é uniforme, ou seja, ele varia de acordo com as posições E = a y x + b z y + c x z , e . A expressão desse campo elétrico é:
Aqui, , e são constantes. O que a gente precisa fazer é calcular o fluxo desse campo elétrico através de uma superfície retangular que está no plano . Esse retângulo tem lados que vão de até e de até .
Para resolver isso, vamos usar o conceito de fluxo elétrico, que envolve integrar o produto escalar do campo elétrico pela área da superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular o fluxo elétrico ( Phi = integral duplaSuperfície E cdot dA ) através de uma superfície:
dA = dx, dy, z í
Onde:
  • é o campo elétrico.
  • é o vetor área, que aponta perpendicularmente à superfície.
No nosso caso, a superfície está no plano , então a normal à superfície é na direção . Portanto, o vetor área será:

Passo 3

Agora, vamos substituir Phi = integral dupla ( a y x + b z y + c x z ) cdot ( dx, dy, z ) e E cdot dA = (a y x + b z y + c x z) cdot (z), dx, dy = c x, dx, dy na fórmula do fluxo:
Fazendo o produto escalar, lembre que apenas as componentes que são iguais multiplicam e somam:
Note que e não contribuem porque e .

Passo 4

Com isso, a expressão para o fluxo fica bem mais simples:
Phi = integral dupla c x, dx, dy
Agora, vamos definir os limites de integração. Como a superfície vai de Phi = c integral0^h integral0^w x, dx, dy até e de até , podemos separar a integral em duas partes:

Passo 5

Vamos calcular a integral passo a passo. Primeiro, fazemos a integral interna em relação a integral0^w x, dx = [ 12 x^2 ]0^w = 12 w^2 :
Phi = c integral0^h 12 w^2, dy = 12 c w^2 integral0^h dy = 12 c w^2 h
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:

Resposta

O fluxo do campo elétrico através da superfície retangular é:
Phi = 12 c w^2 h

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