Um campo elétrico não uniforme é dado pela expressão:
onde
e
são constantes. Determine o fluxo do campo elétrico através de uma superfície retangular contida no plano xy e com dois lados indo de
até
e
até
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o problema está pedindo. A gente tem um campo elétrico que não é uniforme, ou seja, ele varia de acordo com as posições
,
e
. A expressão desse campo elétrico é:
Aqui,
,
e
são constantes. O que a gente precisa fazer é calcular o fluxo desse campo elétrico através de uma superfície retangular que está no plano
. Esse retângulo tem lados que vão de
até
e de
até
.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de fluxo elétrico, que envolve integrar o produto escalar do campo elétrico pela área da superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular o fluxo elétrico (
) através de uma superfície:
Onde:
-
é o campo elétrico. -
é o vetor área, que aponta perpendicularmente à superfície.
No nosso caso, a superfície está no plano
, então a normal à superfície é na direção
. Portanto, o vetor área
será:
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na fórmula do fluxo:
Fazendo o produto escalar, lembre que apenas as componentes que são iguais multiplicam e somam:
Note que
e
não contribuem porque
e
.
Passo 4
Com isso, a expressão para o fluxo fica bem mais simples:
Agora, vamos definir os limites de integração. Como a superfície vai de
até
e de
até
, podemos separar a integral em duas partes:
Passo 5
Vamos calcular a integral passo a passo. Primeiro, fazemos a integral interna em relação a
:
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
Resposta
O fluxo do campo elétrico através da superfície retangular é: