Dados os respectivos vetores velocidade e aceleração instantâneas de uma partícula:
v & =6 imath-3 jmath+2 k ms a & =3 imath-jmath+5 k ms^2
Determine: 9.c) O raio de curvatura rho no plano osculador

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem os vetores de velocidade e aceleração de uma partícula e precisa encontrar o raio de curvatura rho no plano osculador. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como magnitude de vetores e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a magnitude do vetor velocidade v. A magnitude é dada pela fórmula:
|v| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2
Substituindo os valores:
|v| = raiz6^2 + (-3)^2 + 2^2 = raiz36 + 9 + 4 = raiz49 = 7 , m/s

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial v times a. O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular aos dois vetores originais e é calculado da seguinte forma:
v times a = imath & jmath & k 6 & -3 & 2 3 & -1 & 5
Calculando o determinante:
v times a = imath((-3)(5) - (2)(-1)) - jmath((6)(5) - (2)(3)) + k((6)(-1) - (-3)(3))
v times a = imath(-15 + 2) - jmath(30 - 6) + k(-6 + 9)
v times a = -13,imath - 24,jmath + 3,k

Passo 4

Agora, vamos calcular a magnitude do produto vetorial:
|v times a| = raiz(-13)^2 + (-24)^2 + 3^2 = raiz169 + 576 + 9 = raiz754 approx 27.46 , m^2/s^3

Passo 5

Com esses valores, podemos usar a fórmula do raio de curvatura:
rho = |v|^3|v times a|
Substituindo os valores que encontramos:
rho = 7^327.46 = 34327.46 approx 12.5 , metros

Resposta

O raio de curvatura rho no plano osculador é aproximadamente 12,5 metros.

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