18.1 Calcular A B e A C. O que se pode afirmar sobre a lei do cancelamento?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três matrizes , e . A tarefa é calcular os produtos matriciais e . Além disso, precisamos analisar o que esses resultados nos dizem sobre a lei de cancelamento nas matrizes.
Passo 2
Vamos calcular A = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 3 & 1 & 1 . Para multiplicar duas matrizes, multiplicamos as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda e somamos os resultados.
Matriz B = 1 & 1 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 :
AB = A times B = 1 times 1 + 0 times 0 + 0 times 1 & 1 times 1 + 0 times 1 + 0 times 0 & 1 times 1 + 0 times 0 + 0 times 0 0 times 1 + 1 times 0 + 1 times 1 & 0 times 1 + 1 times 1 + 1 times 0 & 0 times 1 + 1 times 0 + 1 times 0 3 times 1 + 1 times 0 + 1 times 1 & 3 times 1 + 1 times 1 + 1 times 0 & 3 times 1 + 1 times 0 + 1 times 0
Matriz AC = A times C = 1 times 1 + 0 times 1 + 0 times 0 & 1 times 1 + 0 times 2 + 0 times (-1) & 1 times 1 + 0 times 1 + 0 times (-1) 0 times 1 + 1 times 1 + 1 times 0 & 0 times 1 + 1 times 2 + 1 times (-1) & 0 times 1 + 1 times 1 + 1 times (-1) 3 times 1 + 1 times 1 + 1 times 0 & 3 times 1 + 1 times 2 + 1 times (-1) & 3 times 1 + 1 times 1 + 1 times (-1) :
AC = 1 & 1 & 1 1 & 1 & 0 4 & 4 & 3
Calculando :
Passo 4
Observamos que det(A) = 1 times (1 times 1 - 1 times 1) - 0 + 0 = 0 . Agora, vamos falar sobre a lei de cancelamento. Em álgebra, a lei de cancelamento nos diz que se e for invertível (ou seja, existe uma matriz tal que , onde é a matriz identidade), então podemos “cancelar” dos dois lados, concluindo que .
No entanto, para que isso seja válido, precisa ser invertível. Vamos verificar se é invertível calculando seu determinante.
Determinante de :
Como o determinante de é zero, não é invertível. Portanto, mesmo que , não podemos concluir que usando a lei de cancelamento, já que a condição necessária (invertibilidade de ) não é satisfeita.
Resposta
Os produtos matriciais são:
AB = AC = 1 & 1 & 1 1 & 1 & 0 4 & 4 & 3
Concluímos que a lei de cancelamento não se aplica neste caso, pois a matriz não é invertível.