Dentre os conjuntos seguintes, determine quais são subspaços de R^2: S=(x, y) in R^2 ; y=3 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se o conjunto é um subespaço de . Isso está ligado ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar verificar se o conjunto satisfaz três condições básicas para ser um subespaço: contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se o conjunto 0 = 3 times 0 Rightarrow 0 = 0 contém o vetor zero. O vetor zero em é . Substituindo na equação :
Isso é verdadeiro, então o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se o conjunto é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em u + v = (x1 + x2, 3x1 + 3x2) = (x1 + x2, 3(x1 + x2)) e somarmos, o resultado também deve estar em .
Sejam e dois vetores em . A soma deles é:
Perceba que a coordenada do vetor soma é vezes a coordenada , ou seja, satisfaz . Portanto, também está em .

Passo 4

Por último, vamos ver se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se multiplicarmos qualquer vetor de c cdot u = (c x, c times 3x) = (c x, 3c x) por um número real qualquer, o resultado também deve estar em .
Tomemos um vetor em e um escalar . A multiplicação por escalar é:
Aqui, a coordenada do vetor resultante é , ou seja, também satisfaz . Assim, está em .

Resposta

O conjunto é um subespaço de .

Exercícios relacionados