Dentre os conjuntos seguintes, determine quais são subspaços de :
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se o conjunto é um subespaço de . Isso está ligado ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar verificar se o conjunto satisfaz três condições básicas para ser um subespaço: contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se o conjunto contém o vetor zero. O vetor zero em é . Substituindo na equação :
Isso é verdadeiro, então o vetor zero está em .
Passo 3
Agora, vamos verificar se o conjunto é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em e somarmos, o resultado também deve estar em .
Sejam e dois vetores em . A soma deles é:
Perceba que a coordenada do vetor soma é vezes a coordenada , ou seja, satisfaz . Portanto, também está em .
Passo 4
Por último, vamos ver se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se multiplicarmos qualquer vetor de por um número real qualquer, o resultado também deve estar em .
Tomemos um vetor em e um escalar . A multiplicação por escalar é:
Aqui, a coordenada do vetor resultante é , ou seja, também satisfaz . Assim, está em .