Dentre os conjuntos seguintes, determine quais são subspaços de
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se o conjunto
é um subespaço de
. Isso está ligado ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar verificar se o conjunto
satisfaz três condições básicas para ser um subespaço: contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se o conjunto
contém o vetor zero. O vetor zero em
é
. Substituindo na equação
:
Isso é verdadeiro, então o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se o conjunto é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em
e somarmos, o resultado também deve estar em
.
Sejam
e
dois vetores em
. A soma deles é:
Perceba que a coordenada
do vetor soma é
vezes a coordenada
, ou seja, satisfaz
. Portanto,
também está em
.
Passo 4
Por último, vamos ver se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se multiplicarmos qualquer vetor de
por um número real qualquer, o resultado também deve estar em
.
Tomemos um vetor
em
e um escalar
. A multiplicação por escalar é:
Aqui, a coordenada
do vetor resultante é
, ou seja, também satisfaz
. Assim,
está em
.
Resposta
O conjunto
é um subespaço de
.