Dentre os conjuntos seguintes, determine quais são subspaços de R^2: S=(x, y) in R^2 ; y=3 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se o conjunto é um subespaço de . Isso está ligado ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar verificar se o conjunto satisfaz três condições básicas para ser um subespaço: contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se o conjunto 0 = 3 times 0 Rightarrow 0 = 0 contém o vetor zero. O vetor zero em é . Substituindo na equação :
Isso é verdadeiro, então o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se o conjunto é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em u + v = (x1 + x2, 3x1 + 3x2) = (x1 + x2, 3(x1 + x2)) e somarmos, o resultado também deve estar em .
Sejam e dois vetores em . A soma deles é:
Perceba que a coordenada do vetor soma é vezes a coordenada , ou seja, satisfaz . Portanto, também está em .

Passo 4

Por último, vamos ver se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se multiplicarmos qualquer vetor de c cdot u = (c x, c times 3x) = (c x, 3c x) por um número real qualquer, o resultado também deve estar em .
Tomemos um vetor em e um escalar . A multiplicação por escalar é:
Aqui, a coordenada do vetor resultante é , ou seja, também satisfaz . Assim, está em .

Resposta

O conjunto é um subespaço de .

Exercícios relacionados

(b) Calcule as coordenadas do vetor u=(1,-1,3)F, em relação à base E.
Qual a condição para que P=(x, y) seja equidistante de A=(2,3) e B=(5,-1) ? R.: 6x-8y-13=0
Sejam E=e1, e2, e3 e F=f1, f2, f3 bases tais que f1=e1-3 e2+e3, f2=e2-e3, f3=e1-e2
(b) Exprima os vetores e1, e2, e3 na base F.
(Anuladores) Considerem-se as matrizes
A=[lll 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 3 & 1 & 1 ] B=[lll 1 & 1 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 ] C=[rrr 1 & 1 & 1 1 & 2 & 1 0 & -1 & -1 ]
18.1 Calcular A B e A C. O que se pode afirmar sobre a lei do cancelamento?