(Determinar se cada matriz abaixo indicada é invertível; em caso afirmativo, calcular sua inversa.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a matriz é invertível e, se for, encontrar a sua inversa. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre determinantes e matrizes inversas. Para isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz e, se ele for diferente de zero, seguimos para encontrar a inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz . A matriz dada é:
O determinante de uma matriz pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vou usar a regra de Sarrus aqui:
Vamos simplificar isso:
Passo 3
Agora que temos o determinante:
Para a matriz ser invertível, o determinante precisa ser diferente de zero. Então, vamos encontrar para quais valores de :
Isso significa que a matriz é invertível para qualquer valor de que não seja .
Passo 4
Como a matriz é invertível para , vamos encontrar a inversa dela. Para uma matriz , a inversa é dada por:
Onde é a adjunta de , que é a transposta da matriz dos cofatores.
Vamos calcular os cofatores de :
Agora, montamos a matriz de cofatores:
A adjunta de é a transposta da matriz de cofatores:
Finalmente, a inversa de é:
Resposta
A matriz é invertível para todo e a sua inversa é: