(Determinar se cada matriz abaixo indicada é invertível; em caso afirmativo, calcular sua inversa.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a matriz é invertível e, se for, encontrar a sua inversa. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre determinantes e matrizes inversas. Para isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz e, se ele for diferente de zero, seguimos para encontrar a inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz A = 1 & 0 & m 2 & 1 & 0 0 & 1 & 1 . A matriz dada é:
O determinante de uma matriz det(A) = 1 cdot 1 cdot 1 + 0 + m cdot 2 cdot 1 - 0 - 0 - 0 = 1 + 0 + 2m - 0 - 0 - 0 = 1 + 2m pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vou usar a regra de Sarrus aqui:
Vamos simplificar isso:
Passo 3
Agora que temos o determinante:
det(A) = 1 + 2m
Para a matriz 1 + 2m neq 0 2m neq -1 m neq -12 ser invertível, o determinante precisa ser diferente de zero. Então, vamos encontrar para quais valores de :
Isso significa que a matriz é invertível para qualquer valor de que não seja .
Passo 4
Como a matriz A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) é invertível para Cofator11 = 1 & 0 1 & 1 = (1)(1) - (0)(1) = 1 , vamos encontrar a inversa dela. Para uma matriz Cofator12 = - 2 & 0 0 & 1 = -[(2)(1) - (0)(0)] = -2 , a inversa Cofator13 = 2 & 1 0 & 1 = (2)(1) - (1)(0) = 2 é dada por:
Cofator21 = - 0 & m 1 & 1 = -[(0)(1) - (m)(1)] = m
Onde Cofator22 = 1 & m 0 & 1 = (1)(1) - (m)(0) = 1 é a adjunta de Cofator23 = - 1 & 0 0 & 1 = -[(1)(1) - (0)(0)] = -1 , que é a transposta da matriz dos cofatores.
Vamos calcular os cofatores de Cofator31 = 0 & m 1 & 0 = (0)(0) - (m)(1) = -m :