(Determinar se cada matriz abaixo indicada é invertível; em caso afirmativo, calcular sua inversa.)
20.5 A=[ccc1 & 0 & m 2 & 1 & 0 0 & 1 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a matriz é invertível e, se for, encontrar a sua inversa. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre determinantes e matrizes inversas. Para isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz e, se ele for diferente de zero, seguimos para encontrar a inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz A = 1 & 0 & m 2 & 1 & 0 0 & 1 & 1 . A matriz dada é:
det(A) = 1 cdot 1 cdot 1 + 0 cdot 0 cdot 0 + m cdot 2 cdot 1 - m cdot 1 cdot 0 - 0 cdot 2 cdot 1 - 1 cdot 0 cdot 1
O determinante de uma matriz det(A) = 1 cdot 1 cdot 1 + 0 + m cdot 2 cdot 1 - 0 - 0 - 0 = 1 + 0 + 2m - 0 - 0 - 0 = 1 + 2m pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vou usar a regra de Sarrus aqui:
Vamos simplificar isso:

Passo 3

Agora que temos o determinante:
det(A) = 1 + 2m
Para a matriz 1 + 2m neq 0 2m neq -1 m neq -12 ser invertível, o determinante precisa ser diferente de zero. Então, vamos encontrar para quais valores de :
Isso significa que a matriz é invertível para qualquer valor de que não seja .

Passo 4

Como a matriz A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) é invertível para Cofator11 = 1 & 0 1 & 1 = (1)(1) - (0)(1) = 1 , vamos encontrar a inversa dela. Para uma matriz Cofator12 = - 2 & 0 0 & 1 = -[(2)(1) - (0)(0)] = -2 , a inversa Cofator13 = 2 & 1 0 & 1 = (2)(1) - (1)(0) = 2 é dada por:
Cofator21 = - 0 & m 1 & 1 = -[(0)(1) - (m)(1)] = m
Onde Cofator22 = 1 & m 0 & 1 = (1)(1) - (m)(0) = 1 é a adjunta de Cofator23 = - 1 & 0 0 & 1 = -[(1)(1) - (0)(0)] = -1 , que é a transposta da matriz dos cofatores.
Vamos calcular os cofatores de Cofator31 = 0 & m 1 & 0 = (0)(0) - (m)(1) = -m :
Cofator32 = - 1 & m 2 & 0 = -[(1)(0) - (m)(2)] = 2m
Cofator33 = 1 & 0 2 & 1 = (1)(1) - (0)(2) = 1
Cof(A) = 1 & -2 & 2 m & 1 & -1 -m & 2m & 1
adj(A) = 1 & m & -m -2 & 1 & 2m 2 & -1 & 1
A^-1 = 11 + 2m cdot 1 & m & -m -2 & 1 & 2m 2 & -1 & 1
Agora, montamos a matriz de cofatores:
A adjunta de é a transposta da matriz de cofatores:
Finalmente, a inversa de é:

Resposta

A matriz A^-1 = 11 + 2m cdot 1 & m & -m -2 & 1 & 2m 2 & -1 & 1 é invertível para todo e a sua inversa é:

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