Sejam E=e1, e2, e3 e F=f1, f2, f3 bases tais que f1=e1-3 e2+e3, f2=e2-e3, f3=e1-e2
(b) Exprima os vetores e1, e2, e3 na base F.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas bases para um espaço vetorial, e . Sabemos como os vetores da base são expressos em termos da base . O objetivo aqui é expressar os vetores da base em termos da base . Para isso, vamos precisar usar conceitos de mudança de base e resolver sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as relações que nos foram dadas:
f1 = e1 - 3e2 + e3 f2 = e2 - e3 f3 = e1 - e2
Nosso objetivo é encontrar expressões para em termos de .

Passo 3

Para isso, vamos montar um sistema de equações onde expressamos e1 = af1 + bf2 + cf3 e2 = df1 + ef2 + ff3 e3 = gf1 + hf2 + if3 como combinações lineares de :
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes .

Passo 4

Para facilitar, vamos escrever as relações originais em forma matricial. Primeiro, representamos as coordenadas de f1 & f2 & f3 = 1 & 0 & 1 -3 & 1 & -1 1 & -1 & 0 e1 e2 e3 na base :

[



]
Essa matriz relaciona a base com a base .

Passo 5

Queremos inverter essa relação para expressar A = 1 & 0 & 1 -3 & 1 & -1 1 & -1 & 0 em termos de . Para isso, precisamos encontrar a inversa da matriz que acabamos de escrever:
Vamos calcular .

Passo 6

Calculando a inversa de det(A) = 1 cdot (1 cdot 0 - (-1) cdot (-1)) - 0 cdot (-3 cdot 0 - (-1) cdot 1) + 1 cdot (-3 cdot (-1) - 1 cdot 1) = 1 cdot (0 - 1) + 0 + 1 cdot (3 - 1) = -1 + 2 = 1 :
Primeiro, calculamos o determinante de A^-1 = adj(A) / det(A) = adj(A) :
adj(A) = (1 cdot 0 - (-1) cdot (-1)) & -( (-3) cdot 0 - (-1) cdot 1 ) & (-3 cdot (-1) - 1 cdot 1) -(0 cdot 0 - 1 cdot 1) & (1 cdot 0 - 1 cdot 1) & -(1 cdot (-1) - 1 cdot 1) (0 cdot (-1) - 1 cdot 1) & -(1 cdot (-1) - 1 cdot 1) & (1 cdot 1 - (-3) cdot 1)
Como o determinante é 1, a matriz é inversível e sua inversa é:
adj(A) = 0 - 1 & - (0 + 1) & (3 - 1) - (0 - 1) & (0 - 1) & - (-1 - 1) (0 - 1) & - (-1 - 1) & (1 + 3) = -1 & -1 & 2 1 & -1 & 2 -1 & 2 & 4
Calculando a matriz adjunta:
A^-1 = -1 & -1 & 2 1 & -1 & 2 -1 & 2 & 4
Simplificando:
Portanto, :

Passo 7

Agora que temos e1 e2 e3 = A^-1 f1 f2 f3 = -1 & -1 & 2 1 & -1 & 2 -1 & 2 & 4 f1 f2 f3 , podemos expressar as coordenadas de e1 = -f1 - f2 + 2f3 e2 = f1 - f2 + 2f3 e3 = -f1 + 2f2 + 4f3 na base :

[

= A^{-1}



]
Isso nos dá:

Resposta

Os vetores da base e1 = -f1 - f2 + 2f3 e2 = f1 - f2 + 2f3 e3 = -f1 + 2f2 + 4f3 expressos na base são:

Exercícios relacionados

Dentre os conjuntos seguintes, determine quais são subspaços de R^2: S=(x, y) in R^2 ; y=3 x
(b) Calcule as coordenadas do vetor u=(1,-1,3)F, em relação à base E.
(Anuladores) Considerem-se as matrizes
A=[lll 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 3 & 1 & 1 ] B=[lll 1 & 1 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 ] C=[rrr 1 & 1 & 1 1 & 2 & 1 0 & -1 & -1 ]
18.1 Calcular A B e A C. O que se pode afirmar sobre a lei do cancelamento?
(Inverter matrizes a partir de igualdades) Dadas as matrizes abaixo indicadas; dadas as correspondentes igualdades. Mostrar que as matrizes são invertíveis e calcular suas inversas.
19.2 A=[rrr+1 & 0 & +2 0 & -1 & 1 +1 & -2 & 0] ; A^3=4 I3+A.