Sejam e bases tais que ,
(b) Exprima os vetores na base .
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas bases para um espaço vetorial, e . Sabemos como os vetores da base são expressos em termos da base . O objetivo aqui é expressar os vetores da base em termos da base . Para isso, vamos precisar usar conceitos de mudança de base e resolver sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as relações que nos foram dadas:
Nosso objetivo é encontrar expressões para em termos de .
Passo 3
Para isso, vamos montar um sistema de equações onde expressamos e1 = af1 + bf2 + cf3 e2 = df1 + ef2 + ff3 e3 = gf1 + hf2 + if3 como combinações lineares de :
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes .
Passo 4
Para facilitar, vamos escrever as relações originais em forma matricial. Primeiro, representamos as coordenadas de f1 & f2 & f3 = 1 & 0 & 1 -3 & 1 & -1 1 & -1 & 0 e1 e2 e3 na base :
[
]
Essa matriz relaciona a base com a base .
Passo 5
Queremos inverter essa relação para expressar A = 1 & 0 & 1 -3 & 1 & -1 1 & -1 & 0 em termos de . Para isso, precisamos encontrar a inversa da matriz que acabamos de escrever: