(Inverter matrizes a partir de igualdades) Dadas as matrizes abaixo indicadas; dadas as correspondentes igualdades. Mostrar que as matrizes são invertíveis e calcular suas inversas.
19.2 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma matriz de ordem 3 e uma igualdade que relaciona com e a matriz identidade . Nosso objetivo aqui é mostrar que é invertível e calcular sua inversa. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como a definição de matriz inversa e propriedades de matrizes.
Passo 2
Primeiro, observamos a igualdade dada:
A^3 = 4 I3 + A
Nosso objetivo é encontrar a inversa de , ou seja, . Para isso, precisamos manipular essa igualdade para isolar .
Passo 3
Vamos reescrever a igualdade para facilitar:
A^3 - A = 4 I3
Agora, podemos fatorar A(A^2 - I3) = 4 I3 do lado esquerdo da equação:
Isso nos mostra uma relação entre , , e .
Passo 4
Queremos expressar 14 A(A^2 - I3) = I3 em termos de para encontrar . Vamos dividir ambos os lados da equação por 4:
Isso sugere que pode ser a inversa de , desde que essa multiplicação resulte na identidade.
Passo 5
De fato, definimos:
A^-1 = 14 (A^2 - I3)
Então, para confirmar, multiplicamos A cdot A^-1 = A cdot 14 (A^2 - I3) = 14 (A^3 - A) = 14 cdot 4 I3 = I3 pela expressão encontrada:
Isso confirma que nossa expressão para está correta.