(Inverter matrizes a partir de igualdades) Dadas as matrizes abaixo indicadas; dadas as correspondentes igualdades. Mostrar que as matrizes são invertíveis e calcular suas inversas.
19.2 A=[rrr+1 & 0 & +2 0 & -1 & 1 +1 & -2 & 0] ; A^3=4 I3+A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma matriz de ordem 3 e uma igualdade que relaciona com e a matriz identidade . Nosso objetivo aqui é mostrar que é invertível e calcular sua inversa. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como a definição de matriz inversa e propriedades de matrizes.

Passo 2

Primeiro, observamos a igualdade dada:
A^3 = 4 I3 + A
Nosso objetivo é encontrar a inversa de , ou seja, . Para isso, precisamos manipular essa igualdade para isolar .

Passo 3

Vamos reescrever a igualdade para facilitar:
A^3 - A = 4 I3
Agora, podemos fatorar A(A^2 - I3) = 4 I3 do lado esquerdo da equação:
Isso nos mostra uma relação entre , , e .

Passo 4

Queremos expressar 14 A(A^2 - I3) = I3 em termos de para encontrar . Vamos dividir ambos os lados da equação por 4:
Isso sugere que pode ser a inversa de , desde que essa multiplicação resulte na identidade.

Passo 5

De fato, definimos:
A^-1 = 14 (A^2 - I3)
Então, para confirmar, multiplicamos A cdot A^-1 = A cdot 14 (A^2 - I3) = 14 (A^3 - A) = 14 cdot 4 I3 = I3 pela expressão encontrada:
Isso confirma que nossa expressão para está correta.

Resposta

A inversa da matriz A^-1 = 14 (A^2 - I3) é:

Exercícios relacionados

(Anuladores) Considerem-se as matrizes
A=[lll 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 3 & 1 & 1 ] B=[lll 1 & 1 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 ] C=[rrr 1 & 1 & 1 1 & 2 & 1 0 & -1 & -1 ]
18.1 Calcular A B e A C. O que se pode afirmar sobre a lei do cancelamento?
Sejam E=e1, e2, e3 e F=f1, f2, f3 bases tais que f1=e1-3 e2+e3, f2=e2-e3, f3=e1-e2
(b) Exprima os vetores e1, e2, e3 na base F.
(Determinar se cada matriz abaixo indicada é invertível; em caso afirmativo, calcular sua inversa.)
20.5 A=[ccc1 & 0 & m 2 & 1 & 0 0 & 1 & 1]
Dentre os conjuntos seguintes, determine quais são subspaços de R^2: S=(0, y) ; y in R