(Anuladores) Considerem-se as matrizes
A=[lll 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 3 & 1 & 1 ] B=[lll 1 & 1 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 ] C=[rrr 1 & 1 & 1 1 & 2 & 1 0 & -1 & -1 ]
18.3 Determinar todas as matrizes D in Mat3(R) tais que A D=0 em que 0 denota a matriz nula.

Passo 1

Então, galera! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para a gente encontrar todas as matrizes A D = 0 de tamanho que, quando multiplicadas pela matriz , dão a matriz nula. Ou seja, queremos todas as matrizes tais que:
Aqui, é uma matriz conhecida, e é a matriz que precisamos determinar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente o espaço nulo (ou núcleo) da matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa A d = 0 . Essa expressão implica que, quando multiplicamos por , o resultado é uma matriz onde todos os elementos são zero.
Lembrando que a multiplicação de matrizes funciona coluna por coluna. Ou seja, cada coluna de deve ser transformada em zero quando multiplicada por . Portanto, para cada coluna de :
Isso significa que cada coluna de deve pertencer ao núcleo de .

Passo 3

Vamos encontrar o núcleo de A = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 3 & 1 & 1 . O núcleo de uma matriz x1 x2 x3 é o conjunto de todos os vetores A x = 1x1 + 0x2 + 0x3 0x1 + 1x2 + 1x3 3x1 + 1x2 + 1x3 = 0 0 0 tais que .
Dada a matriz :
Queremos encontrar todos os vetores que satisfazem:

Passo 4

Vamos montar o sistema de equações:
Das primeiras equações, já sabemos que . Substituindo na segunda equação:
A terceira equação fica:
Que já sabemos que é verdadeira. Portanto, as soluções do sistema são:

Passo 5

Então, qualquer vetor no núcleo de x = 0 -t t = t 0 -1 1 pode ser escrito em termos de 0 -1 1 . Vamos chamar , onde é um número real qualquer. Assim, temos:
Isso significa que o núcleo de é gerado pelo vetor .

Passo 6

Agora que sabemos o núcleo de 0 -1 1 , podemos montar todas as matrizes d1 = a 0 -1 1 , d2 = b 0 -1 1 , d3 = c 0 -1 1 que satisfazem . Como cada coluna de deve estar no núcleo de , cada coluna de será um múltiplo do vetor .
Vamos chamar as colunas de de , e . Então:
Onde são números reais quaisquer.

Passo 7

Montando a matriz D = 0 & 0 & 0 - a & - b & - c a & b & c com essas colunas, temos:
Onde .

Resposta

Todas as matrizes D = 0 & 0 & 0 - a & - b & - c a & b & c que satisfazem são da forma:
com sendo números reais quaisquer.

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