18.3 Determinar todas as matrizes tais que que 0 denota a matriz nula.
Passo 1
Então, galera! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para a gente encontrar todas as matrizes de tamanho que, quando multiplicadas pela matriz , dão a matriz nula. Ou seja, queremos todas as matrizes tais que:
Aqui, é uma matriz conhecida, e é a matriz que precisamos determinar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente o espaço nulo (ou núcleo) da matriz .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Essa expressão implica que, quando multiplicamos por , o resultado é uma matriz onde todos os elementos são zero.
Lembrando que a multiplicação de matrizes funciona coluna por coluna. Ou seja, cada coluna de deve ser transformada em zero quando multiplicada por . Portanto, para cada coluna de :
Isso significa que cada coluna de deve pertencer ao núcleo de .
Passo 3
Vamos encontrar o núcleo de . O núcleo de uma matriz é o conjunto de todos os vetores tais que .
Dada a matriz :
Queremos encontrar todos os vetores que satisfazem:
Passo 4
Vamos montar o sistema de equações:
Das primeiras equações, já sabemos que . Substituindo na segunda equação:
A terceira equação fica:
Que já sabemos que é verdadeira. Portanto, as soluções do sistema são:
Passo 5
Então, qualquer vetor no núcleo de pode ser escrito em termos de . Vamos chamar , onde é um número real qualquer. Assim, temos:
Isso significa que o núcleo de é gerado pelo vetor .
Passo 6
Agora que sabemos o núcleo de , podemos montar todas as matrizes que satisfazem . Como cada coluna de deve estar no núcleo de , cada coluna de será um múltiplo do vetor .