Sabe-se que a reta s é perpendicular à reta bissetriz dos quadrantes ímpares e passa pelo ponto (2,3). Determine o ponto de
que forma um triângulo de área 5 com os pontos
e
. Resp.:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma reta
que é perpendicular à reta bissetriz dos quadrantes ímpares no plano cartesiano e passa pelo ponto
. Nosso objetivo é encontrar um ponto nessa reta
que, junto com os pontos
e
, forme um triângulo com área igual a 5. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equações de retas, perpendicularidade e cálculo da área de um triângulo a partir das coordenadas dos seus vértices.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a reta bissetriz dos quadrantes ímpares. Nos quadrantes ímpares (primeiro e terceiro), a bissetriz dessas regiões é a reta
. Isso porque essa reta divide o ângulo entre os eixos positivos de
e
em dois ângulos iguais.
Passo 3
Sabemos que a reta
é perpendicular à reta bissetriz
. Para encontrar a inclinação da reta
, lembramos que duas retas são perpendiculares se o produto de suas inclinações for
. A inclinação da reta
é 1, então a inclinação da reta
será
.
Passo 4
Agora que temos a inclinação da reta
(
) e um ponto por onde ela passa (
), podemos escrever a equação da reta
usando a forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores conhecidos:
Simplificando:
Então, a equação da reta
é
.
Passo 5
Agora, queremos encontrar um ponto
na reta
que forme um triângulo com os pontos
e
com área igual a 5. Para isso, vamos usar a fórmula da área de um triângulo a partir das coordenadas dos seus vértices:
Onde
,
e
são os vértices do triângulo.
Passo 6
Vamos atribuir os pontos:
-
-
-
(ponto na reta , ou seja, )
Substituindo na fórmula da área:
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
Simplificando os termos:
Passo 7
Como
, podemos substituir na equação acima:
Simplificando:
Isso nos dá duas equações:
Passo 8
Resolvendo a primeira equação:
Substituindo
em
:
Então, um ponto é
.
Agora, resolvendo a segunda equação:
Substituindo
em
:
Assim, o outro ponto é
.
Resposta
Os pontos são
e
.