Sabe-se que a reta s é perpendicular à reta bissetriz dos quadrantes ímpares e passa pelo ponto (2,3). Determine o ponto de s que forma um triângulo de área 5 com os pontos (3,1) e (4,-3). Resp.: (6,-1),(-23, 173).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma reta que é perpendicular à reta bissetriz dos quadrantes ímpares no plano cartesiano e passa pelo ponto . Nosso objetivo é encontrar um ponto nessa reta que, junto com os pontos e , forme um triângulo com área igual a 5. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equações de retas, perpendicularidade e cálculo da área de um triângulo a partir das coordenadas dos seus vértices.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a reta bissetriz dos quadrantes ímpares. Nos quadrantes ímpares (primeiro e terceiro), a bissetriz dessas regiões é a reta . Isso porque essa reta divide o ângulo entre os eixos positivos de e em dois ângulos iguais.

Passo 3

Sabemos que a reta é perpendicular à reta bissetriz . Para encontrar a inclinação da reta , lembramos que duas retas são perpendiculares se o produto de suas inclinações for . A inclinação da reta é 1, então a inclinação da reta será .

Passo 4

Agora que temos a inclinação da reta y - y1 = m(x - x1) ( y - 3 = -1(x - 2) ) e um ponto por onde ela passa ( y = -x + 5 ), podemos escrever a equação da reta usando a forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores conhecidos:
Simplificando:
Então, a equação da reta é .

Passo 5

Agora, queremos encontrar um ponto Área = 12 | x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2) | na reta que forme um triângulo com os pontos e com área igual a 5. Para isso, vamos usar a fórmula da área de um triângulo a partir das coordenadas dos seus vértices:
Á
Onde , e são os vértices do triângulo.

Passo 6

Vamos atribuir os pontos:
  • 5 = 12 | 3(-3 - y) + 4(y - 1) + x(1 + 3) |
  • 10 = | -9 - 3y + 4y - 4 + 4x |
  • 10 = | -13 + y + 4x | (ponto na reta , ou seja, )
Substituindo na fórmula da área:
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
Simplificando os termos:

Passo 7

Como 10 = | -13 + (-x + 5) + 4x | , podemos substituir na equação acima:
10 = | -8 + 3x |
Simplificando:
Isso nos dá duas equações:

Passo 8

Resolvendo a primeira equação:
3x = 18 implies x = 6
Substituindo y = -6 + 5 = -1 em -8 + 3x = -10 implies 3x = -2 implies x = -23 :
y = 23 + 5 = 173
Então, um ponto é .
Agora, resolvendo a segunda equação:
Substituindo em :
Assim, o outro ponto é .

Resposta

Os pontos são e .

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