Sabe-se que a reta s é perpendicular à reta bissetriz dos quadrantes ímpares e passa pelo ponto (2,3). Determine o ponto de que forma um triângulo de área 5 com os pontos e . Resp.: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma reta que é perpendicular à reta bissetriz dos quadrantes ímpares no plano cartesiano e passa pelo ponto . Nosso objetivo é encontrar um ponto nessa reta que, junto com os pontos e , forme um triângulo com área igual a 5. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equações de retas, perpendicularidade e cálculo da área de um triângulo a partir das coordenadas dos seus vértices.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a reta bissetriz dos quadrantes ímpares. Nos quadrantes ímpares (primeiro e terceiro), a bissetriz dessas regiões é a reta . Isso porque essa reta divide o ângulo entre os eixos positivos de e em dois ângulos iguais.
Passo 3
Sabemos que a reta é perpendicular à reta bissetriz . Para encontrar a inclinação da reta , lembramos que duas retas são perpendiculares se o produto de suas inclinações for . A inclinação da reta é 1, então a inclinação da reta será .
Passo 4
Agora que temos a inclinação da reta () e um ponto por onde ela passa (), podemos escrever a equação da reta usando a forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores conhecidos:
Simplificando:
Então, a equação da reta é .
Passo 5
Agora, queremos encontrar um ponto na reta que forme um triângulo com os pontos e com área igual a 5. Para isso, vamos usar a fórmula da área de um triângulo a partir das coordenadas dos seus vértices:
Onde , e são os vértices do triângulo.
Passo 6
Vamos atribuir os pontos:
(ponto na reta , ou seja, )
Substituindo na fórmula da área:
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração: