Apenas uma das afirmações abaixo é verdadeira. Mostre, com contra-exemplos, que as demais são falsas. Se
são L.D., então
são L.D. para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre dependência linear entre vetores. A afirmação que temos é:
“Se
e
são linearmente dependentes (L.D.), então
,
,
são L.D. para todo
.”
Vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente dependentes e aplicar isso para verificar se a afirmação é verdadeira ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que é dependência linear. Dizemos que um conjunto de vetores é linearmente dependente se pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Ou seja, existem escalares não todos zero que multiplicados pelos vetores somam zero.
No nosso caso, se
e
são L.D., isso significa que existe um escalar
tal que:
Passo 3
Agora, queremos ver se adicionando mais um vetor
ao conjunto
, o novo conjunto
continua sendo linearmente dependente para qualquer
.
Vamos analisar isso matematicamente. Se
, então:
Passo 4
Para determinar se
é linearmente dependente, precisamos verificar se existe uma combinação linear não trivial que resulta no vetor zero:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 5
Agora, vamos considerar duas situações:
-
Se
e são linearmente independentes: Nesse caso, a única solução para a equação acima é e . Mesmo assim, temos uma relação não trivial (por exemplo, , , ) que satisfaz a equação, mostrando que o conjunto é L.D. -
Se
e são linearmente dependentes: Nesse caso, claramente, qualquer combinação dos vetores também será dependente.
Passo 6
Portanto, independentemente de
estar no span de
ou não, sempre conseguiremos encontrar uma relação linear não trivial que iguala a combinação dos vetores a zero. Isso confirma que o conjunto
é sempre linearmente dependente se
e
já são dependentes.
Resposta
Sim, a afirmação é verdadeira. Se
e
são linearmente dependentes, então
,
,
também são linearmente dependentes para qualquer vetor
.
Exercícios relacionados
Considere a matriz
Calcule os autovalores e autovetores de
.
Se os vetores
e
são tais que
e
são L.I.,
e
são L.D. e
e
são L.D., mostre que
.
Para a matriz
encontre os autovalores e autovetores de D.
Apenas uma das afirmações abaixo é verdadeira. Mostre, com contra-exemplos, que as demais são falsas. Se
são L.D., então
são L.D.