Apenas uma das afirmações abaixo é verdadeira. Mostre, com contra-exemplos, que as demais são falsas. Se são L.D., então são L.D.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma afirmação: “Se são linearmente dependentes (L.D.), então são L.D.”. Nosso objetivo é verificar se essa afirmação é verdadeira ou falsa, usando exemplos que provem o contrário quando for o caso. Para isso, vamos precisar entender o conceito de dependência linear e como identificar se vetores são dependentes ou independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa vetores serem linearmente dependentes. Vetores são linearmente dependentes se pelo menos um deles pode ser escrito como combinação linear dos outros. Em outras palavras, existe uma combinação desses vetores que resulta no vetor zero, onde pelo menos um coeficiente é diferente de zero.

Passo 3

Agora, vamos analisar a afirmação: “Se são L.D., então são L.D.”. Será que isso sempre acontece? Vamos tentar encontrar um contra-exemplo para ver se a afirmação pode ser falsa.

Passo 4

Vamos considerar três vetores no espaço tridimensional:
Primeiro, verificamos se eles são linearmente dependentes:
Isso nos dá o sistema:
Podemos escolher , então e . Como existe uma combinação não trivial (coeficientes diferentes de zero) que resulta no vetor zero, os vetores são linearmente dependentes.
Agora, vamos verificar se e são linearmente dependentes:
Isso nos dá:
A única solução é , o que significa que e são linearmente independentes.

Resposta

Portanto, encontramos um contra-exemplo onde são linearmente dependentes, mas e são linearmente independentes. Isso mostra que a afirmação “Se são L.D., então são L.D.” é falsa.

Exercícios relacionados

Para a matriz
encontre os autovalores e autovetores de D.
Apenas uma das afirmações abaixo é verdadeira. Mostre, com contra-exemplos, que as demais são falsas. Se são L.D., então são L.D. para todo .
Demonstre os seguintes resultados:
Se dois ângulos são complementares, então ambos são agudos.
Demonstre os seguintes resultados:
Os complementos de ângulos congruentes são congruentes.