Se os vetores u, v e w são tais que u e v são L.I., u e w são L.D. e v e w são L.D., mostre que w=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear! A gente tem três vetores, u, v e w. Sabemos que:
  • u e v são linearmente independentes (L.I.);
  • u e w são linearmente dependentes (L.D.);
  • v e w também são linearmente dependentes (L.D.).
Nosso objetivo é mostrar que o vetor w é igual a zero. Para isso, vamos lembrar do que significa ser linearmente independente ou dependente e usar essas definições para chegar na conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que dois vetores são linearmente independentes. Dois vetores a e b são L.I. se a única combinação linear que resulta no vetor zero é quando os coeficientes são zero, ou seja:
c1a + c2b = 0 Rightarrow c1 = c2 = 0
No nosso caso, u e v são L.I., o que significa que não existe uma combinação não trivial (onde algum coeficiente não é zero) que resulte no vetor zero.

Passo 3

Agora, vamos ver o que significa que u e w são linearmente dependentes. Isso quer dizer que existe um escalar k tal que:
w = ku
Ou seja, w pode ser escrito como um múltiplo de u.

Passo 4

Analogamente, como v e w também são linearmente dependentes, existe um escalar m tal que:
w = mv
Então, temos duas expressões para w:
  1. w = ku
  2. w = mv

Passo 5

Como ambas as expressões representam w, podemos igualá-las:
ku = mv
Isso nos dá uma relação entre u e v.

Passo 6

Rearranjando a equação, temos:
ku - mv = 0
Isso é uma combinação linear dos vetores u e v que resulta no vetor zero.

Passo 7

Lembrando que u e v são linearmente independentes, a única solução para essa combinação linear ser zero é que os coeficientes sejam zero. Portanto:
k = 0 e m = 0

Passo 8

Com k = 0 e m = 0, voltamos às expressões para w:
w = 0 cdot u = 0
w = 0 cdot v = 0

Resposta

Assim, concluímos que w = 0.

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