Se os vetores
e
são tais que
e
são L.I.,
e
são L.D. e
e
são L.D., mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear! A gente tem três vetores,
,
e
. Sabemos que:
-
e são linearmente independentes (L.I.); -
e são linearmente dependentes (L.D.); -
e também são linearmente dependentes (L.D.).
Nosso objetivo é mostrar que o vetor
é igual a zero. Para isso, vamos lembrar do que significa ser linearmente independente ou dependente e usar essas definições para chegar na conclusão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que dois vetores são linearmente independentes. Dois vetores
e
são L.I. se a única combinação linear que resulta no vetor zero é quando os coeficientes são zero, ou seja:
No nosso caso,
e
são L.I., o que significa que não existe uma combinação não trivial (onde algum coeficiente não é zero) que resulte no vetor zero.
Passo 3
Agora, vamos ver o que significa que
e
são linearmente dependentes. Isso quer dizer que existe um escalar
tal que:
Ou seja,
pode ser escrito como um múltiplo de
.
Passo 4
Analogamente, como
e
também são linearmente dependentes, existe um escalar
tal que:
Então, temos duas expressões para
:
Passo 5
Como ambas as expressões representam
, podemos igualá-las:
Isso nos dá uma relação entre
e
.
Passo 6
Rearranjando a equação, temos:
Isso é uma combinação linear dos vetores
e
que resulta no vetor zero.
Passo 7
Lembrando que
e
são linearmente independentes, a única solução para essa combinação linear ser zero é que os coeficientes sejam zero. Portanto:
Passo 8
Com
e
, voltamos às expressões para
:
Resposta
Assim, concluímos que
.
Exercícios relacionados
Dada a matriz
determine os autovalores e autovetores de
.
Resolva o sistema nas incógnitas
e
.
Considere a matriz
Calcule os autovalores e autovetores de
.
Apenas uma das afirmações abaixo é verdadeira. Mostre, com contra-exemplos, que as demais são falsas. Se
são L.D., então
são L.D. para todo
.