Se os vetores e são tais que e são L.I., e são L.D. e e são L.D., mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear! A gente tem três vetores, , e . Sabemos que:
  • e são linearmente independentes (L.I.);
  • e são linearmente dependentes (L.D.);
  • e também são linearmente dependentes (L.D.).
Nosso objetivo é mostrar que o vetor é igual a zero. Para isso, vamos lembrar do que significa ser linearmente independente ou dependente e usar essas definições para chegar na conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que dois vetores são linearmente independentes. Dois vetores e são L.I. se a única combinação linear que resulta no vetor zero é quando os coeficientes são zero, ou seja:
No nosso caso, e são L.I., o que significa que não existe uma combinação não trivial (onde algum coeficiente não é zero) que resulte no vetor zero.

Passo 3

Agora, vamos ver o que significa que e são linearmente dependentes. Isso quer dizer que existe um escalar tal que:
Ou seja, pode ser escrito como um múltiplo de .

Passo 4

Analogamente, como e também são linearmente dependentes, existe um escalar tal que:
Então, temos duas expressões para :

Passo 5

Como ambas as expressões representam , podemos igualá-las:
Isso nos dá uma relação entre e .

Passo 6

Rearranjando a equação, temos:
Isso é uma combinação linear dos vetores e que resulta no vetor zero.

Passo 7

Lembrando que e são linearmente independentes, a única solução para essa combinação linear ser zero é que os coeficientes sejam zero. Portanto:

Passo 8

Com e , voltamos às expressões para :

Resposta

Assim, concluímos que .

Exercícios relacionados

Dada a matriz
determine os autovalores e autovetores de .
Resolva o sistema nas incógnitas e .
Considere a matriz
Calcule os autovalores e autovetores de .
Apenas uma das afirmações abaixo é verdadeira. Mostre, com contra-exemplos, que as demais são falsas. Se são L.D., então são L.D. para todo .