Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e autovetores da matriz:
Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre autovalores e autovetores. Para isso, vamos usar a equação característica e resolver para encontrar os valores que satisfazem essa equação, que são os autovalores. Depois, com esses valores, a gente encontra os autovetores correspondentes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores. A gente faz isso resolvendo a equação:
Aqui, é a matriz identidade e representa os autovalores que estamos procurando.
Passo 3
Vamos montar a matriz :
Passo 4
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Vamos expandir isso:
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática para :
Então, temos dois autovalores:
Passo 6
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles. Começamos com .
Substituindo na matriz :
Queremos achar um vetor que satisfaça . Isso nos dá o sistema de equações:
Vamos resolver a primeira equação para :
Para simplificar, escolhemos (pode ser qualquer valor, já que estamos procurando a direção do vetor):