Considere a matriz
C=(cc 2 & 5 5 & -2 )
Calcule os autovalores e autovetores de C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e autovetores da matriz:
C=(cc 2 & 5 5 & -2 )
Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre autovalores e autovetores. Para isso, vamos usar a equação característica e resolver para encontrar os valores que satisfazem essa equação, que são os autovalores. Depois, com esses valores, a gente encontra os autovetores correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores. A gente faz isso resolvendo a equação:
det(C - lambda I) = 0
Aqui, é a matriz identidade e representa os autovalores que estamos procurando.

Passo 3

Vamos montar a matriz C - lambda I = (cc 2 - lambda & 5 5 & -2 - lambda ) :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(C - lambda I) = (2 - lambda)(-2 - lambda) - (5 times 5) = 0
Vamos expandir isso:
(2 - lambda)(-2 - lambda) - 25 = 0 (-4 - 2lambda + 2lambda + lambda^2) - 25 = 0 lambda^2 - 29 = 0

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática para lambda^2 - 29 = 0 lambda^2 = 29 lambda = pm raiz29 :
lambda1 = raiz29 e lambda2 = -raiz29
Então, temos dois autovalores:

Passo 6

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles. Começamos com C - raiz29 I = (cc 2 - raiz29 & 5 5 & -2 - raiz29 ) .
Substituindo na matriz x y :
(2 - raiz29)x + 5y = 0 5x + (-2 - raiz29)y = 0
Queremos achar um vetor x = -5y2 - raiz29 que satisfaça x = -52 - raiz29 = 5(raiz29 + 2)(raiz29 - 2)(raiz29 + 2) = 5(raiz29 + 2)29 - 4 = 5(raiz29 + 2)25 = raiz29 + 25 . Isso nos dá o sistema de equações:
v1 = dfracraiz29 + 25 1
Vamos resolver a primeira equação para C - (-raiz29) I = (cc 2 + raiz29 & 5 5 & -2 + raiz29 ) :
v2 = dfrac-raiz29 + 25 1
Para simplificar, escolhemos (pode ser qualquer valor, já que estamos procurando a direção do vetor):
Então, o autovetor correspondente a é:
Fazendo o mesmo para :
Seguindo os mesmos passos, encontramos:

Resposta

Os autovalores da matriz lambda1 = raiz29 e lambda2 = -raiz29 são:
v1 = dfracraiz29 + 25 1 e v2 = dfrac-raiz29 + 25 1
E os autovetores correspondentes são:

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