Considere a matriz
Calcule os autovalores e autovetores de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e autovetores da matriz:
Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre autovalores e autovetores. Para isso, vamos usar a equação característica e resolver para encontrar os valores que satisfazem essa equação, que são os autovalores. Depois, com esses valores, a gente encontra os autovetores correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores. A gente faz isso resolvendo a equação:
Aqui, é a matriz identidade e representa os autovalores que estamos procurando.

Passo 3

Vamos montar a matriz :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Vamos expandir isso:

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática para :
Então, temos dois autovalores:

Passo 6

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles. Começamos com .
Substituindo na matriz :
Queremos achar um vetor que satisfaça . Isso nos dá o sistema de equações:
Vamos resolver a primeira equação para :
Para simplificar, escolhemos (pode ser qualquer valor, já que estamos procurando a direção do vetor):
Então, o autovetor correspondente a é:
Fazendo o mesmo para :
Seguindo os mesmos passos, encontramos:

Resposta

Os autovalores da matriz são:
E os autovetores correspondentes são:

Exercícios relacionados

Se os vetores e são tais que e são L.I., e são L.D. e e são L.D., mostre que .
Dada a matriz
determine os autovalores e autovetores de .
Apenas uma das afirmações abaixo é verdadeira. Mostre, com contra-exemplos, que as demais são falsas. Se são L.D., então são L.D. para todo .
Para a matriz
encontre os autovalores e autovetores de D.