Para a matriz
D=(cc 7 & 3 3 & -1 )
encontre os autovalores e autovetores de D.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e autovetores da matriz . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, e para isso vamos precisar saber como calcular determinantes e resolver equações características. Vamos começar!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Para isso, a gente precisa resolver a equação característica, que é dada por:
det(D - lambda I) = 0
Aqui, representa os autovalores e é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar a matriz D - lambda I = 7 - lambda & 3 3 & -1 - lambda :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(D - lambda I) = (7 - lambda)(-1 - lambda) - (3)(3)

Passo 5

Expandindo os termos:
(7 - lambda)(-1 - lambda) = -7 -7lambda + lambda + lambda^2 = lambda^2 -6lambda -7
E det(D - lambda I) = (lambda^2 -6lambda -7) - 9 = lambda^2 -6lambda -16 , então:

Passo 6

Agora, resolvemos a equação quadrática:
lambda^2 -6lambda -16 = 0
Para resolver essa equação, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
lambda = 6 pm raiz(-6)^2 - 4 cdot 1 cdot (-16)2 cdot 1 = 6 pm raiz36 + 642 = 6 pm raiz1002 = 6 pm 102

Passo 7

Isso nos dá duas soluções para :
Então, os autovalores são e .

Passo 8

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para isso, usamos a equação:
(D - lambda I) cdot v = 0
Onde é o autovetor.

Passo 9

Primeiro, para D - 8I = 7 - 8 & 3 3 & -1 -8 = -1 & 3 3 & -9 :
-1 cdot v1 + 3 cdot v2 = 0 3 cdot v1 -9 cdot v2 = 0
Então, temos o sistema:

Passo 10

Simplificando a primeira equação:
- v1 + 3 v2 = 0 Rightarrow v1 = 3 v2
Podemos escolher v1 = 3 1 , então . Portanto, um autovetor correspondente a é:

Passo 11

Agora, para D - (-2)I = D + 2I = 7 + 2 & 3 3 & -1 + 2 = 9 & 3 3 & 1 :
9 cdot v1 + 3 cdot v2 = 0 3 cdot v1 + v2 = 0
Então, temos o sistema:

Passo 12

Simplificando a segunda equação:
3 v1 + v2 = 0 Rightarrow v2 = -3 v1
Podemos escolher v2 = 1 -3 , então . Portanto, um autovetor correspondente a é:

Resposta

Os autovalores da matriz v1 = 3 1 , v2 = 1 -3 são e , com os respectivos autovetores:

Exercícios relacionados