Para a matriz
encontre os autovalores e autovetores de D.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e autovetores da matriz
. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, e para isso vamos precisar saber como calcular determinantes e resolver equações características. Vamos começar!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Para isso, a gente precisa resolver a equação característica, que é dada por:
Aqui,
representa os autovalores e
é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos montar a matriz
:
Passo 4
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Passo 5
Expandindo os termos:
E
, então:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Para resolver essa equação, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Passo 7
Isso nos dá duas soluções para
:
Então, os autovalores são
e
.
Passo 8
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para isso, usamos a equação:
Onde
é o autovetor.
Passo 9
Primeiro, para
:
Então, temos o sistema:
Passo 10
Simplificando a primeira equação:
Podemos escolher
, então
. Portanto, um autovetor correspondente a
é:
Passo 11
Agora, para
:
Então, temos o sistema:
Passo 12
Simplificando a segunda equação:
Podemos escolher
, então
. Portanto, um autovetor correspondente a
é:
Resposta
Os autovalores da matriz
são
e
, com os respectivos autovetores: